分层

分层是个拓扑学概念, 把拓扑空间分成若干局部闭子空间的无交并, 可用于定义、研究可构造层. 代数几何中的类似概念亦有其意义.

1定义

定义 1.1. 拓扑空间 $X$ 的分层, 指的是偏序集 $I$ 以及分划 $X={⨆}_{i\in I}{X}_i$, 满足对任意向下封闭的子集 $J\subseteq I$ 均有 ${\bigcup }_{j\in J}{X}_j$ 是闭集. 固定偏序集 $I$ 时, 这样的分划也称为 $X$ 的 $\mathbf{I}$-分层. 如用偏序集的 Alexandrov 拓扑, 即以向下封闭的集合为闭集, 把 $I$ 做成拓扑空间, 则依定义, $X$ 的 $I$-分层也相当于连续映射 $f:X\to I$. 各 $X_i$ 称为该分层的每一层, 在与层混淆时也可称之为片.

对 $X$ 的 $I$-分层以及 $i\in I$, 分别以 $X_{\le i}$, $X_{<i}$, $X_{\ge i}$, $X_{>i}$ 记对 $j\le i$, $j<i$, $j\ge i$, $j>i$ 的所有 $X_j$ 的并. 则依定义, $X_{\le i}$ 和 $X_{<i}$ 是闭集, $X_{\ge i}$ 和 $X_{>i}$ 是开集. 特别地, $X_i=X_{\le i}\cap X_{\ge i}$ 是 $X$ 的局部闭子集. 好分层指的是满足 $\overline{X_i}=X_{\le i}$ 的分层.

定义 1.2. 概形 $X$ 的分层指的是其作为拓扑空间的分层 $X={⨆}_{i\in I}{X}_i$, 连带每一层的局部闭子概形结构.

注 1.3. 在微分拓扑中会考虑每一层带有光滑流形结构的分层. 参见条目 Whitney 分层.

2性质

3例子

•	CW 复形 $X$ 的各胞腔 $e_{\alpha }$ 形成分层, 这里偏序集定义为 $\alpha \ge \beta$ 当且仅当 $\overline{e_{\alpha }}\cap e_{\beta }\ne \varnothing$. 当然也可粗放一些, 把偏序集定义为 $\alpha >\beta$ 当且仅当 $e_{\alpha }$ 维数比 $e_{\beta }$ 大. 一般来说它不是好分层.
•	如 $X$ 是单纯复形, 则依上例, 偏序集采取第一种定义, 所得分层是好分层.
•	设 $X$ 是完美域 $k$ 上有限型概形. 对自然数 $n$ 归纳定义 $X_{\le -n}$ 和 $X_{-n}$ 如下: $X_{\le 0}=X_{\text{red}}$, $X_{-n}$ 是 $X_{\le -n}$ 所有光滑点组成的开子概形, $X_{\le -n-1}=X_{\le -n}\setminus X_{-n}$, 带既约闭子概形结构. 由广泛平坦, $\overline{X_{-n}}=X_{\le -n}$, 所以由 $X$ Noether 知对充分大的 $N$, $X_{\le -N}=0$, 即 $X_{-n}$, $n<N$ 构成 $X$ 的划分. 依定义, 这按整数的自然偏序构成好分层, 且每一层都是光滑的.

4相关概念

•	Whitney 分层
•	可构造层
•	退径
•	错致层
•	抚平分层

术语翻译

分层 • 英文 stratification • 德文 Stratifikation (f) • 法文 stratification (f) • 拉丁文 stratificatio (f)

层 • 英文 stratum • 德文 Bank (f) • 法文 strate (m) • 拉丁文 stratum (n)