有限型态射

代数几何中, 有限型态射指局部上是有限型环同态的拟紧态射. 它可视作一族被基概形参数化的代数簇.

1定义

定义 1.1. 称概形态射 $f:X\to Y$ 为局部有限型, 指的是存在 $Y$ 的仿射开覆盖 $Y={\bigcup }_i{V}_i$, $V_i=\mathrm{Spec}{B}_i$, 满足每个 $f^{-1}(V_i)$ 有仿射开覆盖 $V_i={\bigcup }_j{U}_{ij}$, $U_{ij}=\mathrm{Spec}{A}_{ij}$, $A_{ij}$ 是有限生成 $B_i$-代数. 称 $f$ 为有限型, 指其局部有限型且拟紧.

2性质

命题 2.1. $f:X\to Y$ 局部有限型, 当且仅当对 $Y$ 的任一仿射开子集 $V=\mathrm{Spec}B$ 和 $f^{-1}(V)$ 的任一仿射开子集 $U=\mathrm{Spec}A$, 都有 $A$ 是有限生成 $B$-代数.

命题 2.2. $X$ 是域 $k$ 上局部有限型概形, 则 $X$ 闭点稠密. 一般地, Jacobson 概形上局部有限型的概形 Jacobson.

命题 2.3.

•	闭浸入、拟紧开浸入都是有限型态射.
•	浸入是局部有限型态射.
•	(局部) 有限型态射的复合还是 (局部) 有限型态射.
•	(局部) 有限型态射的基变换还是 (局部) 有限型态射.

3例子

•	对任意概形 $S$, 仿射空间 ${\mathbb{A}}_S^n\to S$ 是有限型态射.
•	对任意概形 $S$, 射影空间 ${\mathbb{P}}_S^n\to k$ 是有限型态射.
•	任何经典意义下的代数簇到它的基域是有限型态射.

4相关概念

•	有限表现态射
•	有限态射
•	Nagata 紧化

术语翻译

有限型态射 • 英文 morphism of finite type • 德文 Morphismus endlichen Typs • 法文 morphisme de type fini • 拉丁文 morphismus typi finiti • 古希腊文 μορφισμὸς πεπερασμένου τύπου

局部有限型态射 • 英文 morphism locally of finite type • 德文 Morphismus lokal endlichen Typs • 法文 morphisme localement de type fini • 拉丁文 morphisme localiter typi finiti • 古希腊文 μορφισμὸς τοπικῶς πεπερασμένου τύπου