环面

注意区分本文与 “复环面”､“代数环面”.

环面 $T^2$ 是如下图所示的拓扑空间, 也能视为二维光滑流形.

环面同胚于圆周 $S^1$ 与自身的积空间 $S^1\times S^1$.

对任意自然数 $n$, 也将 $S^1$ 与自身的 $n$ 重乘积称为环面, 记为 $T^n=(S^1{)}^n$.

1定义

定义 1.1 (环面). 设 $n$ 为自然数. 则 $n$ 维环面是指 $n$ 维光滑流形$$T^n=(S^1{)}^n,$$即圆周 $S^1$ 与自身的 $n$ 重积空间.

2性质

•	环面 $T^n$ 是紧空间.

•	环面 $T^n$ 的切丛是平凡丛.

•	映射 ${\mathbb{R}}^n\to (S^1{)}^n$ 是环面 $T^n$ 的万有覆叠. 从而, 环面的基本群是 ${\pi }_1(T^n)\simeq {\mathbb{Z}}^n$, 而高阶同伦群为零.

3相关概念

•

椭圆曲线

术语翻译

环面 • 英文 torus • 德文 Torus (m) • 法文 tore (m) • 日文 トーラス • 韩文 원환면 (圓環面); 토러스