复微分形式

复微分形式是可以取复系数的微分形式.

复流形上的复微分形式是复几何的核心研究对象之一, 也是 Hodge 理论建立的基础.

1定义

定义 1.1 (复微分形式). 光滑流形 $X$ 上的 $k$ 阶复微分形式, 或者说复 $k$-形式, 是指向量丛$${\wedge }^k({\mathrm{T}}^{\ast }X){\otimes }_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$$的光滑截面. 所有复 $k$-形式的空间通常记为 ${\mathcal{A}}^k(X;\mathbb{C})$ 或 ${\Omega }^k(X;\mathbb{C})$.

2$(p,q)$-形式

通过坐标定义

在复流形 $X$ 上, 取全纯的局部坐标 $(z^1,\dots ,z^n)$, 记 $z^i=x^i+\mathrm{i}{y}^i$, 其中 $x^i$、$y^i$ 为实坐标. 则可定义复 $1$-形式$$\begin{array}{rl}d{z}^i& =d{x}^i+\mathrm{i}d{y}^i,\\ d{\bar{z}}^i& =d{x}^i-\mathrm{i}d{y}^i.\end{array}$$因为 $d{x}^i$ 与 $d{y}^i$ 都可以写成 $d{z}^i$ 与 $d{\bar{z}}^i$ 的线性组合, 所以任何 $\omega \in {\mathcal{A}}^k(X;\mathbb{C})$ 都能写成$$\omega =\sum _{\begin{array}{c}p+q=k\\ i_1<\cdots <i_p\\ j_1<\cdots <j_q\end{array}}{f}_{i_1,\cdots ,i_p;j_1,\cdots ,j_q}d{z}^{i_1}\wedge \cdots \wedge d{z}^{i_p}\wedge d{\bar{z}}^{j_1}\wedge \cdots \wedge d{\bar{z}}^{j_q}$$的形式, 其中 $f_{i_1,\cdots ,i_p;j_1,\cdots ,j_q}$ 是复值光滑函数.

定义 2.1 ($(p,q)$-形式). 在复流形 $X$ 上, 在上述记号下, 形如$$\omega =fd{z}^{i_1}\wedge \cdots \wedge d{z}^{i_p}\wedge d{\bar{z}}^{j_1}\wedge \cdots \wedge d{\bar{z}}^{j_q}$$的形式称为 $(p,q)$-形式. 所有 $(p,q)$-形式的空间通常记为 ${\mathcal{A}}^{p,q}(X)$ 或 ${\Omega }^{p,q}(X)$, 这一空间不依赖于全纯坐标的选取.

这样, 我们就有$${\mathcal{A}}^k(X;\mathbb{C})=\underset{p+q=k}{⨁}{\mathcal{A}}^{p,q}(X).$$

坐标无关定义

上述定义也可以写成坐标无关的形式. 在复流形 $X$ 上, 在每个 $x\in X$ 处, 都有复结构带来的算子$$\begin{array}{rl}J:{\mathrm{T}}_x^{\ast }X& \to {\mathrm{T}}_x^{\ast }X,\\ \alpha & \mapsto \mathrm{i}\alpha ,\end{array}$$这里与 $\mathrm{i}$ 相乘的操作是将 ${\mathrm{T}}_x^{\ast }X$ 视为复向量空间而进行的. 因为 $J^2=-\mathrm{id}$, 所以 $J$ 的特征值必为 $\pm \mathrm{i}$. 因此, 余切空间的复化 ${\mathrm{T}}_x^{\ast }X{\otimes }_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$ 可以分成特征子空间的直和:$${\mathrm{T}}_x^{\ast }X{\otimes }_{\mathbb{R}}\mathbb{C}=({\mathrm{T}}_x^{\ast }X{)}^{1,0}\oplus ({\mathrm{T}}_x^{\ast }X{)}^{0,1},$$其中 $({\mathrm{T}}_x^{\ast }X{)}^{1,0}$ 与 $({\mathrm{T}}_x^{\ast }X{)}^{0,1}$ 分别为特征值 $\mathrm{i}$ 与 $-\mathrm{i}$ 的特征子空间. 事实上, 在局部坐标下 (记号同上小节), 有$$\begin{array}{rl}J(d{x}^i)& =-d{y}^i,\\ J(d{y}^i)& =d{x}^i,\end{array}$$从而$$\begin{array}{rl}({\mathrm{T}}_x^{\ast }X{)}^{1,0}& =\underset{i=1}{\overset{n}{⨁}}\mathbb{C}\cdot d{z}^i,\\ ({\mathrm{T}}_x^{\ast }X{)}^{0,1}& =\underset{i=1}{\overset{n}{⨁}}\mathbb{C}\cdot d{\bar{z}}^i.\end{array}$$这也说明, 每个点 $x\in X$ 处的特征子空间 $({\mathrm{T}}_x^{\ast }X{)}^{1,0}$ 与 $({\mathrm{T}}_x^{\ast }X{)}^{0,1}$ 分别拼成向量丛 ${\mathrm{T}}^{\ast }X{\otimes }_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$ 的两个子丛, 且有向量丛的直和$${\mathrm{T}}^{\ast }X{\otimes }_{\mathbb{R}}\mathbb{C}=({\mathrm{T}}^{\ast }X{)}^{1,0}\oplus ({\mathrm{T}}^{\ast }X{)}^{0,1}.$$

定义 2.2 ($(p,q)$-形式). 复流形 $X$ 上的 $(p,q)$-形式是复向量丛$${\wedge }^p({\mathrm{T}}^{\ast }X{)}^{1,0}\otimes {\wedge }^q({\mathrm{T}}^{\ast }X{)}^{0,1}$$的光滑截面, 这里外积、张量积都在 $\mathbb{C}$ 上进行. 所有 $(p,q)$-形式的空间通常记为 ${\mathcal{A}}^{p,q}(X)$ 或 ${\Omega }^{p,q}(X)$.

通过嵌入$$\begin{array}{rl}{\wedge }^p({\mathrm{T}}^{\ast }X{)}^{1,0}\otimes {\wedge }^q({\mathrm{T}}^{\ast }X{)}^{0,1}& \to {\wedge }^{p+q}({\mathrm{T}}^{\ast }X){\otimes }_{\mathbb{R}}\mathbb{C},\\ \alpha \otimes \beta & \mapsto \alpha \wedge \beta ,\end{array}$$可以将 $(p,q)$ 形式看作 $(p+q)$ 阶复微分形式. 在这个意义下, 我们有直和分解$${\mathcal{A}}^k(X;\mathbb{C})=\underset{p+q=k}{⨁}{\mathcal{A}}^{p,q}(X).$$

3操作

(…)

4相关概念

•	de Rham 上同调
•	Dolbeault 上同调
•	Hodge 理论

术语翻译

复微分形式 • 英文 complex differential form

$(p,q)$-形式 • 英文 $(p,q)$-form