截面

截面是数学中的广泛概念. 对空间 $X,Y$ 及映射 $f:X\to Y$ 而言, $f$ 的截面是指映射 $s:Y\to X$, 满足$$f\circ s=1_Y,$$其中 $1_Y$ 是 $Y$ 的恒同映射. 大致来说, 上述条件等价于对任意 $y\in Y$, 点 $s(y)$ 都落在纤维 $X_y$ 中, 因此, 可以将截面视为在每个纤维 $X_y$ 中各取一点, 而得到 $Y$ 到 $X$ 的映射.

在范畴论中, 态射的截面与收缩是对偶的概念, 它们分别是态射的右逆、左逆.

1定义

态射的截面

定义 1.1 (截面). 设 $\mathcal{C}$ 是范畴, $f:X\to Y$ 是 $\mathcal{C}$ 中态射. 则 $f$ 的截面是指 $\mathcal{C}$ 中态射 $s:Y\to X$, 满足$$f\circ s=1_Y.$$

层的截面

在层论中, 截面的概念是预层、层定义的一部分. 空间 $Y$ 上层的截面的概念可以类比于某个映射 $f:X\to Y$ 的截面. 这一类比也可以通过平展空间的概念来准确描述.

2相关概念

术语翻译

截面 • 英文 section • 德文 Schnitte (f) • 法文 section (f) • 日文 断面 (だんめん) • 韩文 단면 (斷面)