代数–几何对偶

代数–几何对偶 (或 Isbell 对偶) 是一种观点, 以总结在各类代数对象与几何对象之间的对偶关系. 这种对偶常常由一对伴随函子$$(\mathcal{O}⊣\mathrm{Spec}):\{\text{几何对象}\}\rightleftarrows \{\text{代数对象}\}$$

给出, 其中

•	$\mathcal{O}$ 把空间映到它的函数环, 给出从几何对象到代数对象的对应.

•	$\mathrm{Spec}$ 把代数对象映到它的谱, 给出从代数对象到几何对象的对应.

1例子

以下粗略地列举一些对应关系.

	代数对象	几何对象
一般理论	环	空间
	环同态	空间态射
	投射模	向量丛
	商环	闭子空间
	张量积	积空间
	局部化	邻域
拓扑	交换 $C^{\ast }$ 代数	紧 Hausdorff 空间
	非交换 $C^{\ast }$ 代数	非交换空间
	无幺交换 $C^{\ast }$ 代数	带点紧 Hausdorff 空间
代数几何	交换环	仿射概形
	分次环	射影态射
	域	单点空间
	平坦同态	平坦族
	平展覆叠	覆叠空间
	交换 Hopf 代数	群概形

2相关理论

以下的一些定理是代数–几何对偶在不同场合下的严格表述:

•	Gelfand 对偶建立了交换 $C^{\ast }$ 代数范畴 (代数对象) 与紧 Hausdorff 空间范畴 (几何对象) 之间的 (反变) 范畴等价.

•	Stone 对偶建立了 Boole 代数范畴 (代数对象) 与全不连通紧 Hausdorff 空间 (几何对象) 之间的 (反变) 范畴等价.

•	平展覆叠理论联系了 Galois 理论与覆叠空间理论, 基域的的有限扩张 (代数对象) 可以视为其上的覆叠空间 (几何对象), 覆叠映射对应的环同态则是平展同态.

•	给定光滑流形 $X$, Serre–Swan 定理建立了光滑函数环 $C^{\infty }(X)$ 上有限生成投射模范畴 (代数对象) 与 $X$ 上向量丛范畴 (几何对象) 之间的 (协变) 范畴等价.