带点拓扑空间

带点拓扑空间是拓扑空间带上其中一个选定的点. 这个简单的概念是代数拓扑中的重要工具, 例如, 同伦群和约化同调、约化上同调都要在带点拓扑空间上定义; 稳定同伦论的研究对象, 即拓扑谱, 也是基于带点拓扑空间而定义的.

带点拓扑空间也是拓扑空间范畴中的带点对象.

1定义

定义 1.1 (带点拓扑空间). 带点拓扑空间是二元组 $(X,x)$, 其中

•	$X$ 是拓扑空间.
•	$x\in X$ 是一个元素, 称为基点.

定义 1.2 (带点拓扑空间范畴). 带点拓扑空间范畴 ${\mathsf{Top}}_{\ast }$ 定义如下:

•	其对象为全体带点拓扑空间.
•	从 $(X,x)$ 到 $(Y,y)$ 的态射是连续映射 $f:X\to Y$, 使得 $f(x)=y$.

换言之, ${\mathsf{Top}}_{\ast }$ 就是仰范畴 ${}^{\ast /}\mathsf{Top}$ .

2性质

加点–遗忘伴随

自然的遗忘函子 ${\mathsf{Top}}_{\ast }\to \mathsf{Top}$ 具有左伴随, 即给拓扑空间添加一个孤立的基点:$$\begin{array}{rl}(-{)}_{+}:\mathsf{Top}& \to {\mathsf{Top}}_{\ast },\\ X& \mapsto X_{+}=X\bigsqcup \{\ast \},\end{array}$$其中 $X_{+}$ 的基点是新加入的点.

积、余积

命题 2.1. 设 $\{(X_i,x_i){\}}_{i\in I}$ 是 ${\mathsf{Top}}_{\ast }$ 中的一族对象.

•	这族对象在 ${\mathsf{Top}}_{\ast }$ 中的积就是积空间 ${\prod }_{i\in I}{X}_i$, 其基点为 $(x_i{)}_{i\in I}$.
•	这族对象在 ${\mathsf{Top}}_{\ast }$ 中的余积是单点并$$\underset{i\in I}{\bigvee }{X}_i=\left(\underset{i\in I}{⨆}{X}_i\right)/(x_i\sim x_j{)}_{i,j\in I},$$其基点为原来基点对应的点.

术语翻译

带点拓扑空间 • 英文 pointed space • 德文 punktierter Raum (m) • 法文 espace pointé (m) • 拉丁文 spatium punctum (n) • 古希腊文 σεσημειωμένος χῶρος (m)

基点 • 英文 basepoint • 德文 Grundpunkt (m) • 法文 point de base (m) • 拉丁文 punctus baseos (m) • 古希腊文 σημεῖον βάσεως (n)