余积

余积是范畴论中的一种万有构造, 是一族集合的无交并的推广.

余积的对偶概念是积.

1定义

定义 1.1 (余积). 设 $\mathcal{C}$ 是范畴, 设 $(x_i{)}_{i\in I}$ 是 $\mathcal{C}$ 中一族对象. 这族对象的余积 (如果存在) 是指 $\mathcal{C}$ 的对象$$\coprod _{i\in I}{x}_i\in \mathcal{C},$$并对每个 $i\in I$, 带有一个态射$${\mathrm{in}}_i:x_i\to \coprod _{i\in I}{x}_i,$$称为第 $i$ 分量的含入, 满足以下万有性质:

•	若有对象 $y\in \mathcal{C}$, 以及一族态射 $(f_i:x_i\to y{)}_{x_i\in I}$, 则存在唯一的态射$$(f_i{)}_{i\in I}:\coprod _{i\in I}{x}_i\to y,$$使得对每个 $i\in I$, 图表$$x_i{\coprod }_{i\in I}{x}_{i}y{\mathrm{in}}_i{f}_i(f_i{)}_{i\in I}$$交换.

由于万有构造的唯一性, 一族对象的余积如果存在, 那么在相差同构的意义下是唯一的.

注 1.2. 等价地说, 余积是离散图表的余极限.

定义 1.1 中, 万有性质也可等价叙述如下: 对任意 $y\in \mathcal{C}$, 含入态射诱导了集合同构$$\mathcal{C}(\coprod _{i\in I}{x}_i,y)\simeq \prod _{i\in I}\mathcal{C}(x_i,y),$$其中后者是集合的 Descartes 积.

我们也采用以下记号:

•	若 $I=\{1,\dots ,n\}$, 我们也记$$x_1\bigsqcup \cdots \bigsqcup x_n=\coprod _{i\in I}{x}_i,$$其中 $\bigsqcup$ 有时也记为 $⨿$.

2例子

•	$0$ 个对象的余积是始对象; $1$ 个对象的余积是它自身.

•	集合范畴中的余积就是无交并.

•

群的余积是自由积.

•	Abel 群、模、向量空间的余积是直和.

•	拓扑空间的余积是无交并空间. 带点拓扑空间的余积是一点并空间.

•

(...)

3相关概念

术语翻译

余积 • 英文 coproduct • 德文 Koprodukt (n) • 法文 coproduit (m)