积 (范畴论)

关于其它含义, 请参见 “积”.

积是范畴论中的一种万有构造, 是一族集合的积集的推广.

积的对偶概念是余积.

1定义

在普通范畴中

定义 1.1 (积). 设 $\mathcal{C}$ 是范畴, 设 $(x_i{)}_{i\in I}$ 是 $\mathcal{C}$ 中一族对象. 这族对象的积 (如果存在) 是指 $\mathcal{C}$ 的对象$$\prod _{i\in I}{x}_i\in \mathcal{C},$$并对每个 $i\in I$, 带有一个态射$${\mathrm{pr}}_i:\left(\prod _{i\in I}{x}_i\right)\to x_i,$$称为向第 $i$ 分量的投影, 满足以下万有性质:

•	若有对象 $y\in \mathcal{C}$, 以及一族态射 $(f_i:y\to x_i{)}_{i\in I}$, 则存在唯一的态射$$(f_i{)}_{i\in I}:y\to \prod _{i\in I}{x}_i,$$使得对每个 $i\in I$, 图表$$y{\prod }_{i\in I}{x}_i{x}_i(f_i{)}_{i\in I}{f}_i{\mathrm{pr}}_i$$交换.

由于万有构造的唯一性, 一族对象的积如果存在, 那么在相差同构的意义下是唯一的.

注 1.2. 等价地说, 积是离散图表的极限.

定义 1.1 中, 万有性质也可等价叙述如下: 对任意 $y\in \mathcal{C}$, 投影态射诱导了集合同构$$\mathcal{C}(y,\prod _{i\in I}{x}_i)\simeq \prod _{i\in I}\mathcal{C}(y,x_i),$$其中后者是积集.

我们也采用以下记号:

•	若 $I=\{1,\dots ,n\}$, 我们也记$$x_1\times \cdots \times x_n=\prod _{i\in I}{x}_i.$$

•	若所有 $x_i$ 都为同一个对象 $x$, 我们也记$$x^I=\prod _{i\in I}x.$$

在高阶范畴中

(...)

2例子

•	$0$ 个对象的积是终对象; $1$ 个对象的积是它自身.

•	集合范畴中的积就是积集.

•	代数结构 (例如群、环、模) 的积常常称为直积.

•	域的范畴并不具有积.

•	在拓扑空间范畴 $\mathsf{Top}$ 中, 积由积空间给出.

3相关概念

术语翻译

积 • 英文 product • 德文 Produkt (n) • 法文 produit (m) • 拉丁文 productum (n) • 古希腊文 γενόμενον (n) • 日文 積 (せき) • 韩文 곱