广义对象

广义对象是范畴论中的一个启发性的概念, 它解释了为什么我们需要某些抽象构造, 例如层、叠、高阶叠、高阶意象等, 并赋予它们直观.

构造广义对象的一个原因如下. 我们常常喜欢使用所有空间构成的范畴, 其中的空间是性质很好的空间. 一个典型的例子是微分几何中, 光滑流形是最好的空间. 但很遗憾的事情是, 光滑流形的性质太好, 以致很多有用的空间并不是光滑流形, 即使它们看起来具有某种意义上的 “光滑结构”. 这些空间包括轨形、无穷维流形 (例如某些具有光滑性的函数空间)、Lie 群的分类空间等. 我们可以定义什么是光滑流形到这些空间的映射, 也有办法定义这些空间之间的映射, 从而这些广义光滑流形也构成一个范畴.

1Yoneda 观点

Yoneda 引理告诉我们, 范畴中的对象由所有别的对象到它的态射所完全描述. 例如, 对一个拓扑空间 $X$ 而言, 如果对任何别的拓扑空间 $Y$, 都知道从 $Y$ 到 $X$ 的所有连续映射构成的集合 $\mathsf{Top}(Y,X)$ 是什么样, 那我们也就能知道 $X$ 是哪个拓扑空间. 换言之, 我们可以用别的空间 $Y$ 来 “探测” $X$ 的拓扑.

Yoneda 观点是指, 对于范畴中的对象 $X$ 而言, 我们将 $X$ 等同于别的对象到它的态射的信息, 我们暂且成为 “探测信息”. 这样, 一份合理的探测信息应该能确定范畴中的一个对象. 然而, 有时这样的对象实际并不在原来的范畴中, 见下例.

例 1.1. 考虑光滑流形的范畴 $\mathsf{Mfd}$. 设 $G$ 为 Lie 群. 我们想要一个 $G$ 的分类空间 $\mathrm{B}G$, 使得对任何光滑流形 $Y$, 用它探测 $\mathrm{B}G$ 的结果应该是

$\text{“}\mathsf{Mfd}(Y,\mathrm{B}G)\text{”}=\{$ $Y$ 上光滑 $G$-主丛的同构类 $\}$.

这样可以视为赋予了 $\mathrm{B}G$ 光滑结构, 上述集合就是 $Y$ 到 $\mathrm{B}G$ 所有光滑映射的集合.

对多数 $G$ 而言, 这样的光滑流形 $\mathrm{B}G$ 并不存在. 在我们的观点下, $\mathrm{B}G$ 就是 $\mathsf{Mfd}$ 中的一个广义对象.

在 Yoneda 观点下, 我们将合理的探测信息视为范畴中的广义对象, 这样就将更多有用的对象考虑进来.

2层

3叠

4参考文献

•	nLab: motivation for sheaves, cohomology and higher stacks.

术语翻译

广义对象 • 英文 generalised object • 德文 verallgemeinertes Objekt (n) • 法文 objet généralisé (m) • 拉丁文 obiectum generalizatum (n) • 古希腊文 γενικὸν ἀντικείμενον (n)