用户: Cybcat/曲线模空间/JS第三讲

1第三讲

光滑曲线与节点曲线

有了前面的铺垫, 现在我们可以定义代数曲线的模函子了. 不过如常, 我们快速过一遍背景介绍.

定义 1.1. 我们的复曲线总指一个 (每个不可约分支) 纯一维的, 既约分离有限型 $\mathbb{C}$-概形.

以后我们说曲线时, 一概地谈论一个符合上述条件的复曲线. 另外讨论的范畴和概形也限制在 $\mathbb{C}$-概形范畴 ${\mathsf{Sch}}_{\mathbb{C}}$ 中.

定义 1.2. 对射影曲线, 定义两种亏格:

(a) 若 $C$ 光滑, 其几何亏格定义为$$p_g(C):=h^{1,0}(C)=\dim H^0(C,{\Omega }_C).$$对不光滑的 $C$, 它的几何亏格定义为 $C$ 正规化的几何亏格.

(b) 无论 $C$ 是否光滑, 其算术亏格定义为$$p_a(C):=1-\dim H^0(C,{\mathcal{O}}_C)+\dim H^1(C,{\mathcal{O}}_C).$$

命题 1.3. 对于光滑不可约射影曲线 $p_g(C)=p_a(C)$.

证明. 不可约射影带来 $H^0(C,{\mathcal{O}}_C)=\mathbb{C}$. 使用 Serre 对偶, $H^1(C,{\mathcal{O}}_C)\cong H^0(C,{\Omega }_C)$.

$\square$

例 1.4. 对节点曲线 $C:Z{Y}^2=X^3+Z{X}^2$, 我们有 $p_g(C)=0,p_a(C)=1$. 注意它的正规化是 ${\mathbb{P}}^1$.

注 1.5. 黎曼面说明. 我们叙述一些关于曲线和黎曼面间的对应事实, 光滑射影 (一维时等价于紧合) 曲线在解析拓扑下对应紧黎曼面, 反过来, 紧黎曼面也一定是射影代数曲线, 我不想介绍一般的 GAGA. 这里有一个来自 Griffiths & Harris 的证明, 只使用了标准的工具: Kodaira 消失定理. 当然一些黎曼面的书上会使用来自 Riemann–Roch 定理的更具体的计算.

基本的想法无非是寻找 $C$ 上的线丛 $L$ 能区分点以及一个点处的切向量, 这样它的整体截面给出嵌入 $C\hookrightarrow {\mathbb{P}}^{\dim H^0(L)-1}$. 注意到 $L$ 区分点 $p\ne q$ 当且仅当存在整体截面的满射 $L\to L_p\oplus L_q$. 而我们有短正合列$$0\to L(-p-q)\to L\to L_p\oplus L_q\to 0.$$计算上同调可知, 整体截面满射当且仅当 $H^1(L(-p-q))=0$, 实际上 Kodaira 消失定理告诉我们只需 $\mathrm{deg}L>2+\mathrm{deg}{K}_C$ 时, 这就总成立. 然后对切向量我们也可以使用完全一样的方法, 只不过研究 $p=q$.

最后周定理告诉我们射影空间中的闭曲线都是代数的. 为了写这句话, 周定理的页面就是我写的.

现在拥有解析化后的好处是不言而喻的, 不仅能合理地用拓扑解释什么是亏格, 还能具体地用复流形的模空间理论来帮助我们思考. 另一方面, 亏格对二维紧拓扑流形来说是一个同胚下的完善分类 (闭曲面分类定理), 这里就能清晰地看出刚性对于流形起到了怎么样的限制.

接下来我们严谨地定义节点:

定义 1.6. 设 $C$ 是复曲线, (闭) 点 $q\in C$ 称为一个节点, 是指以下等价条件被满足:

(1)(解析簇看法) 存在邻域 $q\in U$ 使得局部上它解析同构 $\{xy=0\}\subset {\mathbb{C}}^2$ 的零点集.

(2)(代数簇看法) 局部环 ${\mathcal{O}}_{C,q}$ 的完备化是 $\mathbb{C}[[x,y]]/(xy)$.

定义 1.7. 一个节点曲线指的是每个 (闭) 点处要么光滑, 要么为节点的曲线.

假设 $\nu :\tilde{C}\to C$ 是复射影节点曲线 $C$ 的正规化, 那么经过逐点地检查: 在 $C$ 的光滑处 $\nu$ 是同构映射, 在 $C$ 的节点处 $\tilde{C}$ 会分裂成两个点, 所以有正规化正合列$$0\to {\mathcal{O}}_C\to {\nu }_{\ast }{\mathcal{O}}_{\tilde{C}}\to \underset{C\text{的节点}q}{⨁}{\mathbb{C}}_q\to 0.$$由此我们得到节点曲线的亏格公式:

推论 1.8. $$p_a(C)=p_g(\tilde{C})+1-\#\{\tilde{C}\text{的连通分支数}\}+\#\{C\text{的节点数}\}.$$

这里我试图插入一幅原书中的图片, 它绘制了正规化在黎曼面的表现, 非常具有代表性.

比较准确的描述是, 节点曲线从它的正规化得来的方法, 对应将一些 " 甜甜圈 " 上的点对粘接起来. 例如 $y^2=x^3+x^2$, 写成 $(y/x{)}^2=x+1$, 其上的点可以被 $k=y/x$ 参数化, $k\mapsto (k^2-1,k^3-k)$, 原点以外都有唯一的 $k$ 对应, 唯独原点有 $\pm 1$ 两个原像. 这样完备化 (射影化) 后会将 $k\in {\mathbb{P}}^1$ 上的两个点 $k=\pm 1$ 粘起来, 连同复结构, 在局部上就形如 $xy=0$.

几何亏格就不考虑这种 " 通过粘接点对得到的不完全的洞 ", 但是代数亏格会考虑, 你可以在左图中数出 $8$ 个这种 " 洞 ".

此外还有一些有趣的事情, 当曲线在形变的时候, 回忆我们前面的例子 Legendre 族椭圆曲线. 我们意识到这过程中节点会产生, 代数亏格总保持不变 $g=1$, 几何亏格却会变. 看起来我们要用代数亏格来作为讨论的基础了, 但很快就会意识到, 代数亏格 $g$ 的节点曲线确实太多了, 因为我们可以通过结点给它粘上很多个 ${\mathbb{P}}^1$, 使得它的模空间看起来就不大是紧的. 马上就会发现, 这其实又是自同构惹的祸.

正确的研究对象, 实则是带有若干标记点的稳定曲线.

自同构的引入

定义 1.9. 一个复射影, 连通的节点曲线 $C$, 在满足如下条件时被称 $C$ 为稳定的: $$\#\mathrm{Aut}(C)<+\infty$$进一步地, 给定 $C$ 上的点 $p_1,\cdots ,p_n\in C$. 在满足如下条件时被称 $(C;p_1,\cdots ,p_n)$ 为稳定的: $$\#\mathrm{Aut}(C;p_1,\cdots ,p_n)<+\infty ,\mathrm{Aut}(C;p_1,\cdots ,p_n):=\{\phi \in \mathrm{Aut}(C):\forall i,\phi (p_i)=p_i\}.$$

我们还是来速通一下关于黎曼面的自同构理论.

定理 1.10. 不可约光滑复射影曲线 $C$, 设其亏格为 $g$. 那么:

(1) 若 $g=0$ 则 $C\cong {\mathbb{P}}^1$ 且 $\mathrm{Aut}(C)=\mathrm{PGL}(2,\mathbb{C})$.

而且这一作用是 $3$-传递的. 对互不相同的 $p_1,p_2,p_3$, 存在唯一的自同构把它们映到 $0,1,\infty$.

(2) 若 $g=1$ 则 $C\cong E$ 是椭圆曲线, $\mathrm{Aut}(C)\cong E(\mathbb{C})⋊G$.

其中 $G=\mathbb{Z}/2,\mathbb{Z}/4,\mathbb{Z}/6$ 之一, 取决于格的对称性. $E(\mathbb{C})$ 即借助加法结构简单平移, 所以是 $1$-传递的.

(3) 若 $g\ge 2$ 则 $\mathrm{Aut}(C)$ 有限, 阶被 $84(g-1)$ 控制.

(1), (2) 和 (3) 分别是标准的 Mobius 变换理论, 椭圆曲线理论, Hurwitz 定理.

推论 1.11. 设 $C$ 是不可约光滑复射影曲线, 亏格 $g$, 其上不同的 $n$ 个点 $p_1,\cdots ,p_n$, 我们有$$\#\mathrm{Aut}(C;p_1,\cdots ,p_n)<+\infty ⟺2g-2+n>0.$$

那么让我们鼓起勇气处理节点曲线的情形:

定理 1.12. $C$ 是连通复射影节点曲线. 假设 $p_1,\cdots ,p_n$ 是互不相同的光滑点, 则 $(C;p_1,\cdots ,p_n)$ 稳定当且仅当正规化 $\tilde{C}$ 的每个不可约分支 ${\tilde{C}}_v$ 皆满足: $$2g({\tilde{C}}_v)-2+n_v>0.$$这里 $g({\tilde{C}}_v)$ 即其亏格, $n_v$ 表示 $p_1,\cdots ,p_n$ 以及节点 (这两类点通称特殊点) 中位于 $C_v$ 上者的数量.

证明. 注意到 $C$ 的自同构诱导 $\tilde{C}$ 的自同构, 它虽会交换分支, 但它会把特殊点映为特殊点. 对带有 $p_i$ 的分支, 它们被自同构固定, 我们就能分别对这些分支使用前面的大定理 1.10, 对于可被自同构迁移的分支, 因为紧性可知只有有限多个, 所以分支间的迁移不妨碍自同构群的有限和无限性. 所以仍然可以只研究它们的自同构, 这又化归为 1.10.

$\square$

从这个定理我们就能看出前面那个通过结点粘很多个 ${\mathbb{P}}^1$ 的构造会破坏稳定性. 虽说它不改变亏格, 但是它带来了很多神秘的自同构.

光滑稳定曲线族与模空间

现在我们终于可以定义曲线族的概念. 而且, 从模空间理论的哲学 (philosophy) 上看, 我们需要给曲线标记一些点. 一般地, 我们也要同时处理好光滑曲线族和稳定曲线族.

定义 1.13. 给定 $g,n\ge 0$, 一个被概形 $\mathbf{S}$ 参数化的, 带 $\mathbf{n}$ 个标记点的, (光滑/稳定) 亏格 $\mathbf{g}$ 曲线族包含如下资料: $$(\pi :C\to S;p_1,\cdots ,p_n:S\to C),$$常简称一族 (光滑/稳定) 曲线, 满足如下条件:

$\bullet$ $\pi$ 是 (光滑/平坦), 紧合, 满, 有限表现的概形态射; 使得每个几何点上的纤维 $C_s(s\in S)$ 都是一个 (光滑/稳定), 射影, 连通曲线, 算术亏格 $g$.

$\bullet$ 态射 $p_1,\cdots ,p_n$ 是 $\pi$ 两两不交的截面, 像坐落在 $\pi$ 光滑之处 (smooth locus).

两个这样的族等价指的是存在 $S$-同构 $\phi :(C/S;p_1,\cdots ,p_n)\to (C^{\prime }/S;p_1^{\prime },\cdots ,p_n^{\prime })$, 使得 $\phi (p_i)=p_i^{\prime }$. 使得如下的图表交换:

另外对映射 $f:T\to S$, 可以自然地定义 $(C/S;p_1,\cdots ,p_n)$ 沿 $f$ 的拉回, 记 $(C_T/T;p_{1,T},\cdots ,p_{n,T})$ 为纤维积 $C_T:=C{\times }_{S}T$ 以及诱导的截面 $p_{i,T}:=(p_i\circ f)\times {\mathrm{id}}_T$.

总的来说, 这些概念还是很自然的, 原书上一幅直观的示意图如下:

注 1.14. 关于上述定义有一些补充事实:

(a) 若 $S$ 比较合理, 例如它满足局部诺特的条件, 那么紧合自然推出有限表现. 有限表现的具体作用我们会在下面的 (c) 处提到.

(b) 我们要求每个纤维都是射影曲线, 这看起来应该用某种更好的说法取代, 例如直接说态射 $\pi :C\to S$ 射影. 但是这会带来一些技术困难, 比如说射影当然不能局部检查, 不过对于我们的定义, 对一族稳定曲线来说 $\pi$ 局部射影. 大概的思想是考虑 $\pi$ 对应的典范丛 ${\omega }_{\pi }$, ${\omega }_{\pi }({\sum }_i{p}_i)$ 在每个纤维 $C_s$ 上丰沛, 代数几何上 (参见 EGA IV) 就得知这个线丛是 $\pi$-相对丰沛的, 这就对应着局部射影性.

(c) 我们对 $\pi$ 平坦的要求也有些可说的. 光滑当然推出平坦, 对稳定族来说, 由代数几何的结论 [平坦紧合局部有限型] 推出 [欧拉示性数是局部常值的] . 使得即便我们不在定义中提出, 在 $S$ 的连通分支上可自然得到了相同的 $g$.

终于, 我们可以正确地定义模函子 ${\mathcal{M}}_{g,n},{\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}$:

定义 1.15. 模函子 ${\mathcal{M}}_{g,n},{\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}$ 的定义, 它将概形 $S$ 映到$$\begin{array}{rl}{\mathcal{M}}_{g,n}& :=\{(\pi :C\to S;p_1,\cdots ,p_n:S\to C):\text{光滑曲线}\}/\text{等价}.\\ {\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}& :=\{(\pi :C\to S;p_1,\cdots ,p_n:S\to C):\text{稳定曲线}\}/\text{等价}.\end{array}$$对概形态射 $f:T\to S$, 诱导的集合映射$${\mathcal{M}}_{g,n}(S)\to {\mathcal{M}}_{g,n}(T),{\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}(S)\to {\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}(T)$$由拉回给出. 不难检查拉回的函子性.

让我们先看一看 (但是不证) 大定理应该有的样子:

定理 1.16 (Deligne–Mumford–Knudsen). 假设非负整数 $g,n$ 满足 $2g-2+n>0$, 那么:

(a) 存在 ${\mathcal{M}}_{g,n},{\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}$ 的粗模空间 $M_{g,n},{\overline{M}}_{g,n}$.

(b) ${\mathcal{M}}_{g,n},{\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}$ 是正规 $\mathbb{C}$ 代数簇, 维数为 $3g-3+n$. 而且存在自然开浸入 ${\mathcal{M}}_{g,n}\hookrightarrow {\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}$ 像集稠密.

(c) 簇 ${\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}$ 不可约, 射影而且具有商奇点 (quotient singularities).

所谓商奇点, 就是其奇点局部上形如 $\mathrm{Spec}R/G\cong \mathrm{Spec}(R^G)$, 其中 $R$ 光滑仿射, $G$ 是有限群.

(d) 边界 $\partial {\overline{M}}_{g,n}={\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}\backslash {\mathcal{M}}_{g,n}$ 是一个 Weil 除子. 实际上它一般不是 Cartier 的, 不过因为它具有商奇点, 它是 $\mathbb{Q}$-factorial 的, 所以它的一个倍数是 Cartier 除子.

(e) 最后, 考虑 ${\overline{M}}_{g,n}^0\subset {\overline{M}}_{g,n}$ 为使得下式成立的那些带标记点曲线 (的等价类) 构成的子簇: $$\mathrm{Aut}(C;p_1,\cdots ,p_n)=\{{\mathrm{id}}_C\}.$$那么 ${\overline{M}}_{g,n}^0$ 是光滑开子簇, 而且它是 ${\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}^0$ 的精模空间: 这个函子即在稳定曲线族定义中加入自同构平凡. 于是它有万有族, 由下面的交换图表示.

原书作者手绘了如下的模空间示意图:

注 1.17. 注意到条件 $2g-2+n>0$ 就是为了保证存在足够多的光滑曲线稳定, 以至于不发生 $\varnothing \ne M_{g,n}\subset {\overline{M}}_{g,n}$. 实际上最后寄掉的也就是非常有限的这么几种情况: $$(g,n)=(0,0),(0,1),(0,2),(1,0).$$而注意到定理中的 (e) 部分, 实际上 $2g-2+n>0$ 时, ${\overline{M}}_{g,n}^0=\varnothing$ 当且仅当$$(g,n)=(1,1),(2,0).$$以后我们会对此作更多的说明, 不过就现在来说, 至少一方面说告诉我们这两件事: 对于 " 绝大多数 " 的带 $1$ 个标记点椭圆曲线和亏格 $2$ 曲线, 其自同构群非平凡. 椭圆曲线带一个标记点, 实则相当于交换的扭子 (torsor) 标记了幺元, 它在取群逆元下自同构. 至于亏格 $2$ 曲线, 通过考虑典范丛 $K_C$ 我们知道它总是 超椭圆曲线, 换言之总存在 $\varphi :C\to {\mathbb{P}}^1$ 的双页分歧覆盖 (次数 $2$). 所以这诱导了二次扩张 $\mathbb{C}(C)/\mathbb{C}(x)$, 故 $C$ 存在一个仿射开集对应 $\mathbb{C}[x,y]/(y^2-P(x))$ 对某多项式 $P$. 这样$$(x,y)\mapsto (x,-y)$$就应当是自然的对合, 更简单地说, 因为二次扩张都是 Galois 扩张, 所以这将带来 $C$ 的非平凡 (对合) 自同构. 有趣的是, 人们通过分类, 实则知道 $C$ 的自同构无非只能是以下情况: $$C_2,V_4,D_8,D_{12},2D_{12},{\tilde{S}}_4,C_{10}.$$其中的 $2D_{12},{\tilde{S}}_4$ 分别是 $D_{12}$ 和 $S_4$ 的某些二重覆盖. 不过一般的 $C$, 我们只有 $C_2$, 它是三维的因为 $3g-3=3$. 其他的情况维数比较低, $V_4$ 是二维的, $D_8,D_{12}$ 是一维的, 剩下三种情况甚至是唯一的. $$\begin{array}{rl}{C}_1:& y^2=x^6-1,\mathrm{Aut}(C_1)\cong 2D_{12}.\\ C_2:& y^2=x^5-x,\mathrm{Aut}(C_2)\cong {\tilde{S}}_4.\\ C_3:& y^2=x^5-1,\mathrm{Aut}(C_3)\cong C_{10}.\end{array}$$形状上类似椭圆曲线的经典两样: $$\begin{array}{rl}{C}_1^{\prime }:& y^2=x^3-1,\mathrm{Aut}(C_1^{\prime })\cong C_6.\\ C_2^{\prime }:& y^2=x^3-x,\mathrm{Aut}(C_2^{\prime })\cong C_4.\end{array}$$

另外比较幸运的是 ${\mathcal{M}}_2={\mathbb{A}}^3/(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$. 我们其实有类似 $j$-不变量的概念区分亏格 $2$ 超椭圆曲线. 其中记 $\zeta$ 是五次单位根则 $\mathbb{Z}/5$ 这样作用: $$(a,b,c)\mapsto (\zeta a,{\zeta }^{2}b,{\zeta }^{3}c).$$不多说了.

为了能让读者更好地理解这一大定理, 我们将在下一讲中介绍很多具体的低亏格情形. 此外, 我们不仅会引入更多的重要概念, 还会在繁多的例子中找到证明大定理的蛛丝马迹.