自同构

在代数学和范畴论中, 数学对象的自同构是指它到自身的同构, 也就是可逆的自同态. 例如, 恒同映射总是自同构.

数学对象的所有自同构构成群, 称为该对象的自同构群. 这是因为, 两个自同构可以复合而得到新的自同构, 并且, 自同构的逆态射也是自同构.

1定义

定义 1.1 (自同构). 设 $\mathcal{C}$ 是范畴, $x\in \mathcal{C}$ 是对象. 则 $x$ 的自同构群是指集合

$\mathrm{Aut}(x)=\{f\in \mathcal{C}(x,x)\mid f$ 是同构 $\},$

其群结构通过态射复合给出, 其单位元为恒同态射. 群 $\mathrm{Aut}(x)$ 的元素称为 $x$ 的自同构.

2例子

•	整数集 $\mathbb{Z}$ 关于加法构成 Abel 群, 其自同构只有两个: 恒同映射, 以及将整数 $n$ 映到 $-n$ 的映射. 从而, 其作为 Abel 群的自同构群为二元循环群 $\{\pm 1\}$.

3相关概念

术语翻译

自同构 • 英文 automorphism • 德文 Automorphismus (m) • 法文 automorphisme (m) • 日文 自己同型 (じこどうけい) • 韩文 자기 동형 (自己同型)