零态射

在范畴论中, 若一个范畴有零对象, 则两个对象间的零态射是穿过零对象的唯一态射. 若范畴中没有零对象, 也可以定义零态射的概念, 此时的零态射是具有类似上述零态射的性质的态射.

1定义

定义 1.1 (零态射). 设范畴 $C$ 带有零对象 $0$ , 对象 $x, y \in C$ 间的零态射 $0_{x, y}$ 是指可分解为 $0_{x, y} : x \to 0 \to y$ 的态射. 不致混淆的情况下常简写零态射为 $0$ .

由零对象的万有性质, 对任意对象 $x, y \in C$ 都存在唯一的零态射 $0_{x, y}$ .

定义 1.2 (零态射). 设 $C$ 是范畴, $f : x \to y$ 为 $C$ 中态射.

•	称 $f$ 为常值态射, 若对任何对象 $z \in C$ 及态射 $g, h : z \to x$ , 都有 $f \circ g = f \circ h .$

•	称 $f$ 为余常值态射, 若对任何对象 $z \in C$ 及态射 $g, h : y \to z$ , 都有 $g \circ f = h \circ f .$

•	称 $f$ 为零态射, 若 $f$ 同时是常值态射、余常值态射.

若范畴带有零对象, 定义 1.2 中的零态射等价于定义 1.1 中的零态射.

•	群范畴 $Grp$ 中平凡群是零对象. 群 $G, H$ 间的零态射是将 $G$ 的所有元素都映到单位元的群同态.

•	带点集合范畴 $Set_{*}$ 中单点集是零对象. 零态射将定义域内的所有元素映到标记点.

•	预加性范畴 $C$ 的对象 $x, y \in C$ 间的零态射是 $C (x, y)$ 上 Abel 群结构的单位元.

•	集合范畴 $Set$ 中没有零对象. 零态射是形如 $f : \emptyset \to X$ 的映射, 其中 $X$ 是任何集合.

术语翻译

零态射 • 英文 zero morphism