链复形同伦范畴

链复形同伦范畴是从链复形范畴出发, 把链同伦的链映射等同, 获得的范畴. 如在高阶范畴论意义下解释 “等同”, 将给出 链复形 $(\infty ,1)$-范畴, 链复形同伦范畴是其同伦范畴.

1定义

定义 1.1. 设 $\mathcal{A}$ 是加性范畴, $\mathsf{Ch}(\mathcal{A})$ 是其链复形范畴. $\mathcal{A}$ 的链复形同伦范畴, 通常记作 $\mathsf{K}(\mathcal{A})$, 指以下范畴:

•	其对象是 $\mathcal{A}$ 的链复形, 即 $\mathsf{K}(\mathcal{A})$ 与 $\mathsf{Ch}(\mathcal{A})$ 有同样的对象.
•	对链复形 $C$, $D$, $${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{K}(\mathcal{A})}(C,D):={\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Ch}(\mathcal{A})}(C,D)/\simeq ,$$即 $\mathsf{K}(\mathcal{A})$ 的态射定义为链映射商去链同伦.

2性质

定理 2.1. 令 $\mathsf{W}\subseteq \mathsf{Ch}(\mathcal{A})$ 为链同伦等价构成的宽子范畴. 则 $\mathsf{K}(\mathcal{A})=\mathsf{Ch}(\mathcal{A})[{\mathsf{W}}^{-1}]$ 为 $\mathsf{Ch}(\mathcal{A})$ 沿 $\mathsf{W}$ 的局部化.

定理 2.2. $\mathsf{K}(\mathcal{A})$ 是三角范畴, 其映射锥由链复形映射锥计算.

3相关概念

•	链复形 $(\infty ,1)$-范畴

术语翻译

链复形同伦范畴 • 英文 homotopy category of chain complexes