重言丛

重言丛是 Graßmann 形 $k\mathbb{G}(n,N)$ 上的一种典范的 $n$ 维 $k$-向量丛, 其中 $k$ 是域. 重言丛在每个点的纤维是该点所代表的 $k^N$ 的 $n$ 维子空间. 具体而言, 这可以指如下两者之一:

•	拓扑版本: 当 $k=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 时, 重言丛分别是 Graßmann 流形上的光滑向量丛、全纯向量丛. 这也可推广到 $k=$ $\mathbb{H}$ 的情况, 此时重言丛也是光滑向量丛.

•	代数版本: 对任何域 $k$, 重言丛是相应 Graßmann 概形上的代数向量丛.

当 $n=1$ 时, 重言丛也称为重言线丛, 这是射影空间 $k{\mathbb{P}}^{N-1}$ 上的线丛, 常常记为 $\mathcal{O}(-1)$.

另外, 对于上述拓扑版本, 无限维 Graßmann 形 $k\mathbb{G}(n,\infty )$ 是一般线性群 $\mathrm{GL}(n;k)$ 的分类空间, 它也带有重言丛, 该重言丛是万有的 $m$ 维拓扑向量丛.

1定义

2例子

•	实射影直线 ${\mathbb{RP}}^1$ 上的重言线丛是 Möbius 带.

3性质

•	当 $k=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 时, 所有 $n$ 维 $k$-拓扑向量丛皆可由 $k\mathbb{G}(n,\infty )$ 上的重言丛沿分类映射拉回得到.

4相关概念

•	向量丛
•	主丛
•	分类空间

术语翻译

重言丛 • 英文 tautological bundle