代数向量丛

代数向量丛是向量丛的概念在代数几何中的版本. 大致来说, 代数簇或概形 $X$ 上的代数向量丛就是在每个点 $x\in X$ 处赋予一个向量空间 $E_x$, 再将这些向量空间拼成一个大的代数簇或概形 $E$, 它带有映射 $p:E\to X$, 其纤维就给出了各向量空间 $E_x$, 而映射 $p$ 就称为代数向量丛.

由于概形定义为环化空间, 而代数向量丛的截面给出了该环化空间上的局部自由模层, 故而常常将代数向量丛与有限秩的局部自由模层这两种概念等同起来, 甚至前者有时也直接定义为后者. 在这种对应下, 代数线丛, 即秩 $1$ 的代数向量丛, 对应于可逆层.

在代数几何的相对观点下, 代数向量丛是向量空间的相对版本.

1定义

定义 1.1 (代数向量丛). 设 $X$ 为概形. 则 $X$ 上的代数向量丛由以下信息组成:

•	概形态射 $p:E\to X$.

•	概形态射 $+:E{\times }_{X}E\to E$, 称为加法.

•	概形态射 $\cdot :{\mathbb{A}}_X^1{\times }_{X}E\to E$, 称为数乘.

它们满足以下条件:

•	(局部平凡性) 存在 $X$ 的开覆盖 $(U_i{)}_{i\in I}$, 使得对每个 $i\in I$, 存在自然数 $n$ 和同构$${\varphi }_i:E{|}_{U_i}\simeq {\mathbb{A}}_{U_i}^n,$$其中 $E{|}_{U_i}$ 定义为 $E{\times }_X{U}_i$. 同构 ${\varphi }_i$ 与两边到 $U_i$ 的自然态射相容, 且将 $E$ 上的加法、数乘等同于 ${\mathbb{A}}_{U_i}^n$ 上的加法、数乘.

在无歧义时, 也直接称 $E$ 或 $p$ 为 $X$ 上的代数向量丛. 若上述 $n$ 的选取对所有 $i$ 都相同, 则称该向量丛的秩为 $n$.

概形 $X$ 上代数向量丛 $E_1,E_2$ 间的态射即 $E_1,E_2$ 间的 $X$-概形态射, 并与加法、数乘相容. 由此得到 $X$ 上代数向量丛的范畴 $\mathsf{Vect}(X)$.

在上述记号下, 对每个点 $x\in X$, 态射 $p$ 的纤维 $E_x$ 是剩余域 $\kappa (x)$ 上的仿射空间, 并带有加法、数乘运算, 从而可以视为 $\kappa (x)$-向量空间.

如引言所述, 概形上的代数向量丛也可以视为其上的局部自由模层.

定义 1.2 (截面层). 设 $X$ 是概形, $p:E\to X$ 是代数向量丛. 定义 ${\mathcal{O}}_X$-模层 $\mathcal{E}$ 如下:

•	对开集 $U\subset X$, 模层的运算 ${\mathcal{O}}_X(U)\otimes \mathcal{E}(U)\to \mathcal{E}(U)$ 通过 $E$ 的数乘而定义. 这里, 注意到 ${\mathcal{O}}_X(U)$ 可等同于投影 ${\mathbb{A}}_U^1\to U$ 的截面的集合.

则 $\mathcal{E}$ 是局部自由 ${\mathcal{O}}_X$-模层, 称为 $E$ 的截面层.

注 1.3. 定义 1.1 使用概形上的 Zariski 拓扑来定义代数向量丛, 也就是要求向量丛在 Zariski 拓扑下局部平凡. 也可以考虑其它拓扑, 例如平展拓扑、平坦拓扑下的向量丛, 但这样得到的定义与上述定义是等价的. 换言之, 在这些拓扑下局部平凡的向量丛也一定在 Zariski 拓扑下局部平凡.

2例子

•	对概形 $X$ 和自然数 $n$, 仿射空间 ${\mathbb{A}}_X^n$ 向 $X$ 的投影自然地带有代数向量丛的结构, 也称为 $X$ 上秩 $n$ 的平凡丛. 其截面层是 ${\mathcal{O}}_X^{\oplus n}$.

•	对域 $k$ 上的 $n$ 维光滑簇 $X$, 可考虑其切丛 ${\mathbb{T}}_X$、余切丛 ${\mathbb{L}}_X$, 它们都是秩 $n$ 的代数向量丛. 当 $X$ 不光滑时, 这可以推广为切复形、余切复形.

3性质

•	概形 $X$ 上的代数向量丛等同于局部自由模层. 准确地说, $X$ 上代数向量丛的范畴 $\mathsf{Vect}(X)$ 等价于有限秩局部自由 ${\mathcal{O}}_X$-模层的范畴, 后者定义为模层范畴 ${\mathcal{O}}_X\text{-}\mathsf{Mod}$ 的一个全子范畴.

术语翻译

代数向量丛 • 英文 algebraic vector bundle • 德文 algebraischer Vektorbündel (n) • 法文 fibré vectoriel algébrique (m)

截面层 • 英文 sheaf of sections • 德文 Garbe von Schnitten (f) • 法文 faisceau de sections (f)