一般线性群

环上的一般线性群是其上所有同阶可逆方阵构成的群, 更 “典范” 地说, 它是自由模的自同构群. 它是 Lie 群、代数群的重要例子, 也是群表示论关心的重要对象.

一般线性群通常由 $\mathrm{GL}(n,A)$, ${\mathrm{GL}}_n(A)$ 或 $\mathrm{GL}(V)$ 表示.

1定义

定义 1.1 (矩阵定义). 对环 $A$, 一般线性群 $\mathrm{GL}(n,A)$ 由所有 $A$ 上 $n$ 阶可逆方阵构成, 相应二元运算为矩阵的乘法, 单位元为单位阵.

也可以把一般线性群定义为自同构群.

定义 1.2 (自同构群定义). 对环 $A$ 上有限投射右模 $M$ (例如域 $\mathbb{k}$ 上向量空间 $V$), 一般线性群 $\mathrm{GL}(M)$ 是 $M$ 作为 $A$-右模的自同构群. 特别地, $A$ 为域时, $\mathrm{GL}(M)$ 是所有可逆线性变换构成的群.

可以看出, 当 $M$ 取为 $A^n$ 时, $\mathrm{GL}(M)=\mathrm{GL}(n,A)$. 因此后一种定义是前一种定义的推广.

2性质

基本性质

以下列举了一些一般线性群的群论性质.

命题 2.1 (元素个数). 对 $q$ 元域 ${\mathbb{F}}_q$, $\mathrm{GL}(n,{\mathbb{F}}_q)$ 元素个数为$$(q^n-1)(q^n-q)\cdots (q^n-q^{n-1}).$$

命题 2.2 (中心). 对环 $A$, $\mathrm{GL}(n,A)$ 的中心同构于 $A$ 的乘法群的中心, 其中元素形如 $aI$, 其中 $I$ 为单位阵.

(...)

Lie 群结构

当 $A$ 是 $\mathbb{R}$-代数时, 可以为 $\mathrm{GL}(n,A)$ 赋予 Lie 群结构. $A$ 为 $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{H}$ 的情况提供了 Lie 群的重要例子.

命题 2.3 (Lie 群结构). $\mathrm{GL}(n,\mathbb{k})$ 是 $n$ 阶矩阵构成的空间 $M_{n\times n}(\mathbb{k})$ ($\mathbb{k}=\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}$) 中的开集. 这为 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$, $\mathrm{GL}(n,\mathbb{H})$ 赋予了光滑流形结构, (事实上 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{H})$ 是四元数流形), 并为 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$ 赋予了复流形结构. 此时, $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$, $\mathrm{GL}(n,\mathbb{H})$ 是实 Lie 群, $\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$ 是复 Lie 群. 此时, 二者均是约化 Lie 群.

$\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 和 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$ 的闭子群也是重要的一类 Lie 群, 称为矩阵 Lie 群, 其中重要的例子有特殊线性群、正交群、辛群等.

作为 Lie 群, 它对应一个 Lie 代数.

命题 2.4 (Lie 代数). 一般线性群 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{k})$ ($\mathbb{k}=\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{H}$) 的 Lie 代数是向量空间$$\mathfrak{gl}(n,\mathbb{k})=M_n(\mathbb{k})$$配有 Lie 括号 $[X,Y]=XY-YX$.

一般线性群有下述拓扑性质.

命题 2.5 (紧性). $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$, $\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$, $\mathrm{GL}(n,\mathbb{H})$ 均不紧, 三者极大紧子群分别是正交群 $\mathrm{O}(n,\mathbb{R})$, 酉群 $\mathrm{U}(n)$ 和紧辛群 $\mathrm{Sp}(n)$.

命题 2.6 (连通性). $\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$ 和 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{H})$ 是连通的, 但是 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 并不连通: 后者的两个连通分支分别由行列式为正和为负的矩阵构成.

命题 2.7 (基本群). $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 的最大连通子群, 在 $n=1$ 时是单连通的, 而 $n=2$ 时有基本群 $\mathbb{Z}$, $n\ge 3$ 时有基本群 $\mathbb{Z}/2$; $\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$ 的基本群是 $\mathbb{Z}$; $\mathrm{GL}(n,\mathbb{H})$ 是单连通的.

群概形结构

可以将交换环上一般线性群视为群概形, 精确地说:

命题 2.8. 对概形 $S$, 函子$${\mathsf{Sch}}_S^{\text{op}}\to \mathsf{Grp},X\mapsto \mathrm{GL}(n,\Gamma (X,{\mathcal{O}}_X))$$是 $S$ 上群概形, 称为一般线性群, 记作 ${\mathrm{GL}}_{n,S}$.

它是约化群概形.

注 2.9. 以上构造也可以推广到交换环 $R$ 上的有限生成投射结合代数 $A$ (未必交换) 上: 函子$${\mathsf{Sch}}_R^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Grp},R^{\prime }\mapsto \mathrm{GL}(n,R^{\prime }{\otimes }_{R}A)$$是 $R$ 上群概形.

命题 2.10. ${\mathrm{GL}}_{n,S}$ 是 $S$ 上约化群概形, 中心为 ${\mathbb{G}}_{m,S}$, 对应的根数据为 $({\mathbb{Z}}^n,\Phi ,{\mathbb{Z}}^n,{\Phi }^{\vee })$, 其中两个 ${\mathbb{Z}}^n$ 的配对为标准配对, $$\Phi ={\Phi }^{\vee }=\{e_i-e_j\mid 1\le i,j\le n,i\ne j\}.$$

表示论

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3例子

例 3.1. 一阶的一般线性群同构于相应环的乘法群, 即对环 $A$, 即 $\mathrm{GL}(n,A)\cong A^{\times }$.

例 3.2. 实一般线性群 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 由 Euclid 空间的旋转, 沿某些方向的缩放 (缩放比例不能为 $0$) 和翻转生成, 这即是 Cartan 分解.

4相关概念

•	一般线性 Lie 代数

术语翻译

一般线性群 • 英文 general linear group • 德文 allgemeine lineare Gruppe • 法文 groupe général linéaire • 拉丁文 caterva generalis linearis • 古希腊文 γενικὴ γραμμικὴ ὁμάς