拓扑向量丛

拓扑向量丛是向量丛的概念在拓扑学中的版本. 大致来说, 拓扑空间 $X$ 上的向量丛就是在每个点 $x\in X$ 处赋予一个向量空间 $E_x$, 再将这些向量空间拼成一个大的拓扑空间 $E$, 它带有连续映射 $p:E\to X$, 其纤维就给出了各向量空间 $E_x$, 而映射 $p$ 就称为向量丛. 各向量空间 $E_x$ 的维数称为向量丛 $E$ 的秩.

通过标架丛的构造, 秩 $n$ 的向量丛等同于一般线性群 $\mathrm{GL}(n)$ 的主丛. 因此, 拓扑向量丛具有分类空间 ${\coprod }_{n\in \mathbb{N}}\mathrm{BGL}(n)$. 换言之, 空间 $X$ 上的拓扑向量丛可以等同于 $X$ 到该分类空间的连续映射的同伦类.

通过拓扑向量丛, 可以构造空间的拓扑 $K$ 理论, 这是一种广义上同调理论.

1定义

在下文中, 我们记 $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$, 并带有通常的拓扑.

定义 1.1 (拓扑向量丛). 设 $X$ 为拓扑空间. 则 $X$ 上的 $\mathbb{K}$-拓扑向量丛由以下信息组成:

•	拓扑空间的连续映射 $p:E\to X$.

•	连续映射 $+:E{\times }_{X}E\to E$, 称为加法, 其中左边是纤维积空间.

•	连续映射 $\cdot :\mathbb{K}\times E\to E$, 称为数乘.

它们满足以下条件:

•	(局部平凡性) 存在 $X$ 的开覆盖 $(U_i{)}_{i\in I}$, 使得对每个 $i\in I$, 存在自然数 $n$ 和同构$${\varphi }_i:E{|}_{U_i}\simeq U_i\times {\mathbb{K}}^n,$$其中 $E{|}_{U_i}=p^{-1}(U_i)$. 同构 ${\varphi }_i$ 与两边到 $U_i$ 的自然态射相容, 且将 $E$ 上的加法、数乘等同于 ${\mathbb{K}}^n$ 上的加法、数乘.

在无歧义时, 也直接称 $E$ 或 $p$ 为 $X$ 上的拓扑向量丛. 若上述 $n$ 的选取对所有 $i$ 都相同, 则称该向量丛的秩为 $n$.

拓扑空间 $X$ 上拓扑向量丛 $E_1,E_2$ 间的态射即 $E_1,E_2$ 间的连续映射, 与到 $X$ 的映射相容, 并与加法、数乘相容. 由此得到 $X$ 上拓扑向量丛的范畴 $\mathsf{Vect}(X)$.

2例子

•	对任意拓扑空间 $X$ 和自然数 $n$, 投影映射 $X\times {\mathbb{K}}^n\to X$ 都是拓扑向量丛, 称为秩为 $n$ 的平凡丛.

•	$n$ 维光滑流形的切丛、余切丛都是秩 $n$ 的实拓扑向量丛, 也是光滑向量丛. 类似地, $n$ 维复流形的切丛、余切丛都是秩 $n$ 的复拓扑向量丛, 也是全纯向量丛.

术语翻译

拓扑向量丛 • 英文 topological vector bundle • 德文 topologisches Vektorbündel (n) • 法文 fibré vectoriel topologique (m)