3264 条曲线

$3264$ 条曲线是计数几何中的一个经典结论, 是说在平面 ${\mathbb{P}}_k^2$ 上, 与 $5$ 条给定一般位置的圆锥曲线相切的圆锥曲线的数目为 $3264$, 其中 $k$ 是代数闭域且 $\mathrm{char}(k)\ne 2$.

注: 若 $\mathrm{char}(k)=2$, 类似可以得到结果应该修正为 $51$.

1定理与证明

历史和证明之铺垫

不难看出平面 ${\mathbb{P}}_k^2$ 上的圆锥曲线的模空间同构于 ${\mathbb{P}}_k^5$ (例如将方程的 $6$ 个系数拿出来即可, 严谨的证明是因为其是 Hilbert 概形的简单特例), 而给定一个圆锥曲线 $D$, 则所有和 $D$ 相切的圆锥曲线构成 ${\mathbb{P}}_k^5$ 的一个 $6$ 次超曲面 $H_D$.

在 1848 年, Jakob Steiner 猜测与 $5$ 条给定一般位置的圆锥曲线相切的圆锥曲线的数目为 $7776$ (因为 $6^5=7776$), 事实说明这个猜测是错误的. 在 1864 年数学家 Michel Chasles 猜测了正确结果为 $3264$.

那么不禁要问直接 $6^5=7776$ 有何错误之处? 事实上即使 $5$ 条圆锥曲线在一般位置上, 也会有重数为 $2$ 的直线来冒充圆锥曲线. 这是因为重数为 2 的直线一定和这 $5$ 条圆锥曲线相交, 相交重数是 $2$, 因此会被认定为相切! 所以我们需要排除掉这一部分的干扰.

考虑 Veronese 嵌入为 ${\mathbb{P}}_k^2\to S\subset {\mathbb{P}}_k^5$, 我们发现所谓重数为 2 的直线被 $(a{x}_0+b{x}_1+c{x}_2{)}^2$ 定义, 所以所有的 $2$ 重直线的模空间在 ${\mathbb{P}}_k^5$ 内就是刚刚的 Veronese 曲面 $S\subset {\mathbb{P}}_k^5$.

接下来我们证明这一数字成立, 证明有多种方法, 这里我们给出两个证明 (其中第二个证明里我们又细分出两种证明), 并给出第三种证明的概要和出处. 因此我们再次有了四种证明.

证明 1 —— 例外相交公式

此处参考 [Fulton 1998] Proposition 9.1.1.

首先,例外相交公式告诉我们, 即使我们知道要考虑 Veronese 曲面 $S$, 我们仍需搞清楚 ${\bigcap }_i{H}_{D_i}$ 在 Veronese 曲面 $S$ 上的概形结构. 设 ${\mathcal{I}}_S$ 是 $S\subset {\mathbb{P}}^5$ 的理想层, 事实上 ${\bigcap }_i{H}_{D_i}$ 在 Veronese 曲面 $S$ 上的概形结构为 $T=V({\mathcal{I}}_S^2)$! 这里我们忽略这个事实的证明.

首先假设 $S\cong {\mathbb{P}}^2$ 的超平面类为 $h$, 则很容易计算得到 $s(N_{S/{\mathbb{P}}^5})=1-9h+51h^2$, 故而 $s(N_{T/{\mathbb{P}}^5})=8-144h+1633h^2$. 且 $c(N_{D_i/{\mathbb{P}}^5}{|}_T)=1+6\cdot 2h=1+12h$.

根据例外相交公式, 在 $S$ 内承担的个数为$$\begin{array}{rl}& {\int }_S(H_{D_1}\cdots H_{D_5}{)}^T\\ & ={\int }_S\left(\prod _{i=1}^{5}c(N_{D_i/{\mathbb{P}}^5}{|}_T)\cap s(T,{\mathbb{P}}^5)\right)\\ & ={\int }_S(1+12h{)}^5(8-144h+1633h^2)=4512.\end{array}$$故我们需要的结果为$$6^5-4512=7776-4512=3264.$$

证明 2 —— 直接计算

此处参考 [Fulton 1998] 例 9.1.9.

假设这 $5$ 条给定一般位置的圆锥曲线为 $D_1,...,D_5$,Fulton 指出我们此时的 " 一般位置 " 是指满足如下条件:

(1)	没有过同一个点的三条曲线;
(2)	不存在这样的对 $(\ell ,p_1,p_2)$, 其中 $\ell$ 是直线且 $p_i\in \ell$, 使得这五条曲线要不与 $\ell$ 相切, 要不和 $p_1$ 或 $p_2$ 相交;
(3)	这五条曲线两两不相切;
(4)	如果有两条直线分别和两个圆锥曲线相切, 那么他们不可以同时相交于第五个圆锥曲线上.

然后我们来解释一下想法, 我们的想法是既然 $H_{D_i}$ 都交于 $S$, 所以我们无法得到正确的相交数, 那么我们就考虑将 $S$ 爆破掉, 此时 $H_{D_i}$ 的 strict transform(待改为中文) 会在爆破后分开, 于是可以得到正确的结果.

考虑爆破为 $b:{\mathrm{Bl}}_S{\mathbb{P}}^5\to {\mathbb{P}}^5$, 例外除子为 $E$. 假设 $H_{D_i}$ 的 strict transform(待改为中文) 为 $H_{D_i}^{\prime }$, 我们断言 $b^{\ast }{H}_{D_i}=2E+H_{D_i}^{\prime }$(这个实际上可以从上述的 $T=V({\mathcal{I}}_S^2)$ 看出, 但我们也可以直接计算). 这里我们需要一个爆破的常用结果:

定理 1.1. 假设 $X\to Y$ 是代数概形之间的正则嵌入, 考虑爆破 $b:{\mathrm{Bl}}_{X}Y\to Y$ 和纤维积: 设 $V\subset Y$ 是 $k$ 维子簇, 设 $V^{\prime }$ 是其 strict transform(待改为中文), 则$$b^{\ast }[V]=[V^{\prime }]+j_{\ast }(c(g^{\ast }{N}_i/\mathcal{O}(-1))\cap s(V\cap X,V){)}_k$$

证明. 见 [Fulton 1998] 定理 6.7.

$\square$

根据这个结果很容易算出, 我们略去.

我们再次考虑上述给 " 一般位置 " 的说明, 其中 (1)(2) 告诉我们 $\bigcap H_{D_i}^{\prime }\cap E=\varnothing$, 而 (3)(4) 告诉我们 $\bigcap H_{D_i}$ 在 $S$ 之外都是重数为 $1$ 的离散点, 因此我们可以肆意妄为的计算了.

[法 2.1] 直接计算.

首先假设 ${\mathbb{P}}^5$ 的超平面类为 $h$, 因此 $h$ 拉回到 $S$ 上是 $2h_S$, 此时我们想要的结果就是$${\int }_{{\mathrm{Bl}}_S{\mathbb{P}}^5}\prod _{i=1}^5{H}_{D_i}^{\prime }={\int }_{{\mathrm{Bl}}_S{\mathbb{P}}^5}(2E+6b^{\ast }h{)}^5.$$不难计算得到是 $3264$, 此处我们也运用了射影丛的 Chow 环结构, 将计算转移到 $E=\mathbb{P}(N_{S/{\mathbb{P}}^5})$ 之内.

[法 2.2] 转化到 Segre 类.

再次考虑我们熟知 Segre 类和爆破有如下关系:$$s(S,{\mathbb{P}}^5)=\sum _{k\ge 1}(-1{)}^{k-1}{g}_{\ast }(E^k).$$故而根据 (1)(2) 得到 $\bigcap H_{D_i}^{\prime }\cap E=\varnothing$ 得到 (缩小 ${\mathrm{Bl}}_S{\mathbb{P}}^5$ 使得交没有 $S$ 之外的分支)$$0=g_{\ast }\left(\prod _{i=1}^5(b^{\ast }{H}_{D_i}-2E)\right).$$故而展开得到:$$\begin{array}{rl}(H_{D_1}\cdots H_{D_5}{)}^S& =2^{5}s(S,{\mathbb{P}}^5{)}_0+2^4\sum _i{H}_{D_i}\cdot s(S,{\mathbb{P}}^5{)}_1+2^3\sum _{i\ne j}{H}_{D_i}{H}_{D_j}s(S,{\mathbb{P}}^5{)}_2.\end{array}$$故而$$\begin{array}{rl}& {\int }_S(H_{D_1}\cdots H_{D_5}{)}^S\\ & ={\int }_S(2^5\cdot 51h^2-5\cdot 2^4\cdot 2\cdot 6\cdot 9h^2+10\cdot 2^3\cdot (6\cdot 2{)}^2)=4512.\end{array}$$因此我们再次得到$$6^5-4512=7776-4512=3264.$$

证明 3 —— 更好的模空间紧化 (掠影)

此处参考 [Eisenbud–Harris 2016] 第 8 章. 再次我们只简述思路, 定义和结果.

这里有两种模空间紧化可供选择 (其实是同构的), 一种是稳定映射的模空间 ${\overline{\mathcal{M}}}_0({\mathbb{P}}^2,2)$, 一种是完备圆锥曲线模空间 $X$(其实这两个空间一样, 甚至都同构于 ${\mathrm{Bl}}_S{\mathbb{P}}^5$, 但思考的角度已经截然不同). 这两者的本质类似, 都是给一组圆锥曲线形变时候的极限带来更多的信息 (实际上这两种带来的信息等价).

先说完备圆锥曲线模空间.

事实上一个射影簇有很多性质和形变关系可以从其对偶簇反映出来很多, 比如说给一簇圆锥曲线 $C_t$, 其对偶的极限 $\underset{t\to 0}{\lim }{C}_t^{\ast }$ 是被 $\underset{t\to 0}{\lim }{C}_t$ 的变化决定, 而非被 $C_0$ 决定. 不过如果 $C_0$ 光滑的时候这个是对的, 所以我们需要考虑其退化情况.

例如如果一组光滑圆锥曲线退化成两个不同直线的并, 此时其对偶簇会退化成一个二重直线, 对应于上述两个直线的交点, 因为此时这两条直线的切线在退化过程中的切线依旧包含所有方向的直线, 所以只会退化到过交点的所有直线;

而如果一组光滑圆锥曲线退化成一个二重直线, 此时其对偶簇会退化成两个直线 (可以相同也可以不同) 的并, 也就是考虑 $f_t:{\mathbb{P}}^1\to {\mathbb{P}}^2$ 为这一族曲线, 那么 $f_0$ 的像只是个 (二重) 直线, 故而对应于 $W\subset H^0({\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^1}(2))$ 的二维子空间. 那么对偶簇就是这个线性系诱导映射的基点.

一个合理的模空间紧化构造为:$$X=\overline{\{(C,C^{\ast })\in {\mathbb{P}}^5\times {\mathbb{P}}^{5\ast }:C\text{光滑且}{C}^{\ast }\text{为其对偶簇}\}}\subset {\mathbb{P}}^5\times {\mathbb{P}}^{5\ast }.$$这就是完备圆锥曲线模空间.

只会我们考虑和五个一般位置的圆锥曲线相切的情况. 考虑 $Z_D$ 为 $X$ 内和 $D$ 相切的光滑对象对应的除子的闭包, 那么实际上最多只有两种完备圆锥曲线能同时出现在这五个除子内:$(C,C^{\ast })$ 光滑;$(2L,2p^{\ast })$ 全二重. 事实上第二种也不可能出现, 这是因为找一族光滑的逼近它, 会得到: 这个点在 $Z_D$ 内只可能发生在 $p\in D$ 或 $M\in D^{\ast }$ 的情况内! 显然五个一般位置的圆锥曲线不可能满足.

因此出现在 ${\bigcap }_{i=1}^5{Z}_{D_i}$ 的只有光滑的完备圆锥曲线! 于是我们计算其 Chow 环即可.

对于 ${\overline{\mathcal{M}}}_0({\mathbb{P}}^2,2)$, 也考虑退化到二重直线的情况即可. 考虑一组 $C_t$ 光滑且 $\underset{t\to 0}{\lim }{C}_t=C_0=2L$, 则稳定映射 $f_t$ 会退化到 ${\mathbb{P}}^1\stackrel{2:1}{\to }L$ 或者 ${\mathbb{P}}^1\cup {\mathbb{P}}^1\to L$, 这取决于映射的分歧点个数. 因此这和对偶簇观点是一样的.

2更多的推广

我们有如下结论:

定理 2.1. (为了方便假设域特征零) 给定 $r$ 维的平面曲线族和 $r$ 个在一般位置的平面曲线 $D_1,...,D_r$, 假设 $\mathrm{deg}{D}_i=n_i$ 且 $m_i$ 为过一个一般点且和 $D_i$ 相切的直线数量, 则在这个平面曲线族里和 $D_1,...,D_r$ 相切的曲线数量为$$\prod _{i=1}^r(m_i\mu +n_i\nu ).$$其中 ${\mu }^k{\nu }^{r-k}$ 为这个曲线族内过 $k$ 个一般点且和 $r-k$ 个一般位置直线相切的个数.

此定理证明更类似于$3264$ 条曲线证明的第三种, 这里例外相交公式失效, 所以需要更细致的分析和极限逼近的方法, 见 [Fulton 1998] 第 10.4 节. 一些直接推论:

推论 2.2. 假设特征 $0$. 在 ${\mathbb{P}}_k^2$ 里和 $5$ 个一般位置的 $n$ 次光滑曲线相切的圆锥曲线的个数为$$N=n^5((n-1{)}^5+10(n-1{)}^4+40(n-1{)}^3+40(n-1{)}^2+10(n-1)+1).$$

例 2.3. 假设特征 $0$. 在 ${\mathbb{P}}_k^2$ 里和 $5$ 个一般位置的 $3$ 次光滑曲线相切的圆锥曲线的个数为 $168399$, $11$ 次为 $39312710151$ 个.

3参考文献

•	David Eisenbud, Joe Harris (2016). 3264 AND ALL THAT: A Second Course in Algebraic Geometry. Cambridge University Press.

•	William Fulton (1998). Intersection Theory. Springer.

4相关概念

•

例外相交公式

•	Hilbert 概形

术语翻译

$3264$ 条曲线 • 英文 $3264$ curves • 德文 $3264$ Kurven • 法文 $3264$ courbes • 拉丁文 $3264$ curvas • 古希腊文 $3264$ καμπύλες