四维 Donaldson–Thomas 不变量

在代数几何中, 和研究三维 Calabi–丘流形上计数问题的 Donaldson–Thomas 不变量类似, 粗略来讲 四维 Donaldson–Thomas 不变量考虑的是以下计数问题: 在四维 Calabi–丘流形 $X$ 上, 有多少个凝聚层, 使得其所有陈类都与我们事先规定好的一致?

当然这里的数目并不是 “数数” 意义下的数目. 凝聚层的模叠具有某种 “虚拟维数”, 和三维情况不同, 四维 Calabi–丘流形的凝聚层的模叠的虚拟维数并不一定 $0$, 因此我们可以选取其上的某些向量丛的 Euler 类在虚拟基本类上积分从而得到四维 Donaldson–Thomas 不变量.

和研究三维 Calabi–丘流形上计数问题的 Donaldson–Thomas 不变量类似, 我们也有类似的物理背景, 不再赘述.

四维 Donaldson–Thomas 不变量最早是由曹亚龙和梁迺聪开始发展 (见 [Cao–Leung 2014]) , 他们成功代数地构造出一些情况的虚拟基本类; 之后一个重要结果是由 Dennis Boriso 和 Dominic Joyce (见 [Boriso–Joyce 2017]) 运用导出微分几何构造出一般情况在整系数同调群内的虚拟基本类 $[\mathcal{M}{]}_{\text{BJ}}^{\text{vir}}\in {\mathrm{H}}_{2\text{vdim}}(\mathcal{M},\mathbb{Z})$. 之后 Jeongseok Oh 和 Richard Thomas 延续曹亚龙和梁迺聪的代数理论成功构造出了一般情况的 虚拟基本类 $[\mathcal{M}{]}_{\text{OT}}^{\text{vir}}\in {\mathrm{CH}}_{\text{vdim}}(\mathcal{M},\mathbb{Z}[1/2])$, 见 [Oh–Thomas 2023], 二者在 [Oh–Thomas 2023-2] 内证明了如下两个映射像相同: 最后, Hyeonjun Park 博采众长, 他在 [Park 2021] 里提取出了构造的整套理论并构造出了这种情况虚拟拉回, 更在在 [Park 2024] 里寻找得到这个理论背后的导出几何背景, Park 让整套理论变得更普适, 更好用.

1参考文献

原始文献:

•	Yalong Cao, Naichung Conan Leung (2014). “Donaldson-Thomas theory for Calabi-Yau 4-folds”. arXiv: 1407.7659 [math.AG].

•	Dennis Boriso, Dominic Joyce (2017). “Virtual fundamental classes for moduli spaces of sheaves on Calabi-Yau four-folds”. Geom. Topol. 21 (6), 3231–3311.

•	Jeongseok Oh, Richard Thomas (2023). “Counting sheaves on Calabi–Yau 4-folds, I”. Duke Math. J. 172 (7), 1333–1409.

•	Jeongseok Oh, Richard Thomas (2023-2). “Complex Kuranishi structures and counting sheaves on Calabi-Yau 4-folds, II”. arXiv: 2305.16441 [math.AG].

•	Hyeonjun Park (2021). “Virtual pullbacks in Donaldson-Thomas theory of Calabi-Yau 4-folds”. arXiv: 2110.03631 [math.AG].

•	Hyeonjun Park (2024). “Shifted symplectic pushforwards”. arXiv: arXiv:2406.19192 [math.AG].

2相关概念

术语翻译

四维 Donaldson–Thomas 不变量 • 英文 Donaldson–Thomas invariants of fourfolds