2875 条直线

$2875$ 条直线是计数几何中的著名结论, 是说:

•	在射影空间 ${\mathbb{P}}^4$ 中, 处于一般位置的五次三维簇中含有 $2875$ 条直线.

这一结论可以通过代数几何中的标准方法证明. 然而, [Candelas 等, 1991] 提出一种用镜像对称以计算这一数目的方法. 他们构造了与该五次三维簇互为 “镜像” 的 Calabi–丘流形, 并通过该镜像上的计算得到了正确的数目. 这也是最早说明镜像对称在数学上具有深刻含义的结论之一.

1推广

根据代数几何中的标准方法证明, 也就是看作直线的 Hilbert 概形 (作为 Graßmann 形的子概形, 也称作 Fano 概形) , 将其表示成重言商丛的对称积的最高阶陈类, 我们不难看出$2875$ 条直线问题就是$27$ 条直线问题的推广. 因此类似方法也可解决下述问题:

问题 1.1. ${\mathbb{P}}^n$ 内一般位置的 $d=2n-3$ 次的超曲面上的直线个数是多少?

例如, 一样的方法可以计算得到, ${\mathbb{P}}^8$ 内一般位置的 $13$ 次的超曲面上的直线个数是 $210776836330775$ (利用 Macaulay 2 编程得到) . 当然这个方法成立得益于如下结果:

定理 1.2. 如果 $X\subset {\mathbb{P}}^n$ 是一般位置的 $d\ge 1$ 次的超曲面, 那么其 Fano 概形是即约的且维数是 $2n-d-3$.

证明. 证明可参考 [Eisenbud–Harris 2016] 的定理 6.34.

$\square$

2参考文献

原始文献:

•	Philip Candelas, Xenia C. de la Ossa, Paul S. Green, Linda Parkes (1991). “A pair of Calabi–Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory”. Nuclear Physics B 359 (1), 21–74. (doi) (zbMATH)

更多参考:

•	David Eisenbud, Joe Harris (2016). 3264 AND ALL THAT: A Second Course in Algebraic Geometry. Cambridge University Press.

3相关概念