Gromov–Witten 不变量

Gromov–Witten 不变量是计数几何中的一种计数不变量. 大致来说, 它考虑的是以下的曲线计数问题:

•	给定紧 Kähler 流形 $X$, 在 $X$ 中能找到多少条嵌入的代数曲线 (即 Riemann 面)?

当然, 若对曲线不加限制, 则当 $\dim X>1$ 时, 上述问题的答案必定是 $\infty$, 正如 “光滑流形中能找到多少条曲线” 的答案是 $\infty$. 但通过复结构的限制, 再对曲线加以某些限制, 就能得到有限的数目.

在一般情况下, 这一计数问题并不是简单的数数, 而是带重数的计数, 这里正确的重数可能不是整数, 而是一般的有理数. 故一般而言, Gromov–Witten 不变量不一定是整数, 但一定是有理数.

Gromov–Witten 不变量称为 “不变量”, 是因为它在复结构的形变下不变, 故而由流形的辛结构决定. 因此, 它也能用来区分不同构的辛流形.

Gromov–Witten 不变量也可以只通过辛结构和近复结构来定义. 此时, 需要以伪全纯曲线的概念来代替上面考虑的全纯曲线.

1想法

如引言所述, Gromov–Witten 不变量考虑的是曲线计数问题, 并对曲线加以限制, 以得到有限的数目. 计数几何中有不少经典问题都基于这一想法, 例如:

•	在平面 ${\mathbb{CP}}^2$ 上, 过五个给定点的圆锥曲线的数目为 $1$.

•	在平面 ${\mathbb{CP}}^2$ 上, 与五条给定圆锥曲线相切的圆锥曲线的数目为 $3264$.

一般而言, 要对流形 $X$ 上的曲线进行计数, 我们对曲线加以两类限制条件:

•	我们固定曲线的亏格 $g$, 以及曲线的基本类所确定的同调类 $A\in H_2(X;\mathbb{Z})$. 在上面的例子中, 说该曲线是圆锥曲线实际上等价于固定 $g=0$ 及 $A=2H$, 其中 $H\in H_2({\mathbb{CP}}^2;\mathbb{Z})$ 是超平面类.

•	我们要求曲线经过某些给定的点, 或类似的条件.

这两类条件可以更清晰地解释如下. $X$ 中所有代数曲线构成的集合 $\mathcal{M}(X)$ 带有自然的几何结构, 称为 $X$ 中曲线的模空间. 第一个条件实际上是说, 我们只考虑 $\mathcal{M}(X)$ 中的一个连通分支 ${\mathcal{M}}_g(X,A)$, 因为总共有无限个连通分支. 第二个条件是说, 若该连通分支的维数大于 $0$, 则需要添加某些限制条件, 即在模空间中取某些子流形, 它们相交得到一些离散的点. 此时, 就得到有限的相交数.

例如, 在上文的例子中, ${\mathcal{M}}_0({\mathbb{CP}}^2,2H)\simeq {\mathbb{CP}}^5$, 因为圆锥曲线的方程是 $6$ 个参数确定的齐次方程: $a{x}^2+bxy+c{y}^2+dxz+eyz+f{z}^2=0$, 这里 $[x:y:z]$ 是 ${\mathbb{CP}}^2$ 的坐标. 此时的 Gromov–Witten 不变量取决于选取的限制条件, 就是 ${\mathbb{CP}}^5$ 中相应子流形的相交数.

事实上, Gromov–Witten 不变量所蕴含的信息都在于 ${\mathcal{M}}_g(X,A)$ 的基本类, 因为剩下的步骤就是用其它同调类 (对应于限制条件) 与之相交. 因此, 我们可以直接定义 Gromov–Witten 不变量为这个同调类. 这样, 只有上述两类限制条件中的第一类是本质的; 第二类只是用不同的同调类与之相交.

上述想法虽然在直观上是清晰的, 但在具体定义时会遇到麻烦. 其主要困难在于:

•	模空间 ${\mathcal{M}}_g(X,A)$ 可能并不光滑, 也不紧. 此时基本类无法定义, 故而相交数也无法定义.

为解决这一问题, 需要引入以下的技术工具:

•	稳定曲线、稳定映射的概念. 大致说, 就是在曲线上取 $n$ 个标记点, 并记录这些标记点被映射到 $X$ 中的位置. 并且, 还要允许某些不光滑的曲线存在. 这样得到新的模空间 ${\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}(X,A)$ 就是紧的.

•	虚拟基本类的概念. 上述空间 ${\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}(X,A)$ 并不光滑, 甚至不同的部分可能有不同的维数. 而虚拟基本类是基本类的推广, 在这种比较坏情况下也有定义, 从而可以定义 Gromov–Witten 不变量为这一虚拟基本类, 也可以用其它同调类与之相交而得到数值的 Gromov–Witten 不变量.

这两个步骤都不容易, 因此 Gromov–Witten 不变量的严格定义是个很不平凡的结论.

2相关概念

术语翻译

Gromov–Witten 不变量 • 英文 Gromov–Witten invariant