Donaldson–Thomas 不变量

在代数几何中, Donaldson–Thomas 不变量是一种计数不变量. 它考虑的是以下计数问题: 在三维 Calabi–丘流形 $X$ 上, 有多少个凝聚层, 使得其所有陈类都与我们事先规定好的一致?

这里的数目并不是 “数数” 意义下的数目. 凝聚层的模叠具有某种 “虚拟维数”, 大致来说, 在上述假设下, 模叠是虚拟意义下的 $0$ 维对象, 从而可以谈论虚拟意义下, 其中有多少个点. 这就是 Donaldson–Thomas 不变量.

Donaldson–Thomas 不变量关于复结构的形变具有不变性, 这是其称为 “不变量” 的原因.

Donaldson–Thomas 不变量与弦论中的曲线计数问题密切相关: 给定复射影代数簇 $X$, 固定同调类 $\beta \in H_2(X;\mathbb{Z})$, 在 $X$ 中能找到多少亏格 $g$ 的代数曲线, 其对应的同调类为 $\beta$? 该问题的直接数学表述是 Gromov–Witten 不变量, 但它难以计算, 且并不直接给出物理上所期待的曲线数目, 需要经过一些变换才可以. 另一方面, 使用 Donaldson–Thomas 不变量, 可以将 $X$ 中的代数曲线 $Z$ 对应到其理想层 ${\mathcal{I}}_Z$, 然后考虑这些理想层的计数问题, 就能直接给出物理上所期待的曲线数目.

1参考文献

原始文献:

•	R. P. Thomas (2000). “A holomorphic Casson invariant for Calabi–Yau 3-folds, and bundles on K3 fibrations”. J. Differ. Geom. 54 (2), 367–438. arXiv: math/9806111 [math.AG]. (doi) (zbMATH)

曲线计数问题的综述:

•	R. Pandharipande, R. P. Thomas. “$13/2$ ways of counting curves”. arXiv: 1111.1552 [math.AG]. (zbMATH)

2相关概念

术语翻译

Donaldson–Thomas 不变量 • 英文 Donaldson–Thomas invariant