Hodge 结构

Hodge 结构是用来模拟复代数簇的上同调的代数结构: 纯 Hodge 结构用来模拟射影光滑复代数簇的奇异上同调与 Dolbeault 上同调, 以及 Hodge 分解给出的二者的关系; 而未必射影或光滑的复代数簇的上同调理论则由混 Hodge 结构来模拟. 可以认为混 Hodge 结构是一些纯 Hodge 结构的 “结合”, 正如一般代数簇可以实现为射影光滑代数簇挖去或收缩它的子簇.

复代数簇对应的 Hodge 结构是复代数几何的重要研究对象, 包括形变在内的许多现象都可以通过 Hodge 结构来反映. Hodge 理论即是使用 Hodge 结构研究复代数几何的理论.

某种意义上 Hodge 结构已经挖掘了复代数簇上同调的全部信息, 因为 Hodge 猜想说明母题到 Hodge 结构的实现为全函子.

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1定义

纯 Hodge 结构

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定义 1.1 (纯 Hodge 结构). 权为 $\mathbf{n}$ 的纯 Hodge 结构是二元组 $(H_{\mathbb{Z}},\{H^{p,q}\})$, 其中 $H_{\mathbb{Z}}$ 是有限生成 Abel 群, $H^{p,q}$ 是 $H_{\mathbb{C}}:=H_{\mathbb{Z}}{\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{C}$ 的 $\mathbb{C}$-线性子空间, 满足指标 $p,q\in \mathbb{Z}$, $p+q=n$, $$H_{\mathbb{C}}=\underset{p+q=n}{⨁}{H}^{p,q},H^{p,q}={\bar{H}}^{p,q}.$$

定义 1.2 (代数簇对应的纯 Hodge 结构). 紧合光滑代数簇 $X$ 对应的权为 $\mathbf{n}$ 的纯 Hodge 结构是二元组 $(H^n(X,\mathbb{Z}),\{H^{p,q}(X){\}}_{p+q=n})$, 前者是奇异上同调, 后者是 Dolbeault 上同调, Hodge 分解将后者自然地视为前者的线性子空间, 并给出上述等式.

混 Hodge 结构

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2例子

•	$(\mathbb{Z},H^{0,0}=\mathbb{C})$ 称为平凡的纯 Hodge 结构.
•	$(2\pi \mathrm{i}\mathbb{Z},H^{-1,-1}=\mathbb{C})$ 是权为 $-2$ 的纯 Hodge 结构, 称为 Tate 扭 $\mathbb{Z}(1)$. 它的对偶是射影空间 ${\mathbb{P}}^1$ 对应的权为 $2$ 的纯 Hodge 结构.

3性质

4相关概念

•	母题
•	周期

术语翻译

Hodge 结构 • 英文 Hodge structure • 德文 Hodge-Struktur • 法文 structure de Hodge