分裂域

分裂域是一类域扩张.

1定义

定义 1.1 (多项式的分裂). $K/k$ 是域扩张, $f(x)\in k[x]$ 称为在 $K$ 上分裂若 $f(x)$ 可以写成 $K$ 中一次多项式的乘积. 即 $f$ 的根都在 $K$ 中.

定义 1.2 (分裂域). 设 $k$ 是域, $f(x)\in k[x]$. $f$ 的分裂域是指域扩张 $K/k$, 满足

•	$f$ 在 $K$ 上分裂.
•	对任意包含 $k$ 的真子域 $L⊊K$, $f$ 不在 $L$ 上分裂.

分裂域总是存在的 (命题 2.2).

2存在性

引理 2.1. $k$ 是域, $f\in k[x]$ 是不可约多项式, 则存在域扩张 $K/k$ 使得 $f$ 在 $K$ 中有根.

证明. 考虑商环 $k[x]/(f)$. 对于任意 $g\in k[x]$, 若 $g\notin (f)$, 则 $g,f$ 互素, 由 Bézout 等式, 存在 $g_1,f_1\in k[x]$ 使得$$g_{1}g+f_{1}f=1.$$因此在 $k[x]/(f)$ 中 $g$ 有乘法逆元 $g_1$. 故 $K=k[x]/(f)$ 是 $k$ 的域扩张. 而 $x\in k[x]$ 在 $K$ 中的像就是 $f$ 的根.

$\square$

命题 2.2. 分裂域存在.

证明. 只用证明存在有限扩张 $K^{\prime }/k$ 使得 $f$ 在 $K^{\prime }$ 上分裂. 然后取 $K^{\prime }$ 中最小的满足 $f$ 在其上分裂的域 $K$ 即可 (有限扩张保证了总能找到最小的). 我们证明有有限扩张使得 $f$ 在其上有根, 然后对 $f$ 的次数进行归纳即可. 不妨假设 $f$ 不可约, 则由引理 2.1 知命题成立.

$\square$