Mather 方体定理

约定. 在本文中,

Mather 方体定理是个同伦论定理, 说的是如果意象 (例如生象范畴 $Ani$ ) 中交换方体的某些面是推出/拉回方块, 那么另一些面也是拉回/推出方块.

1陈述

定理 1.1 (Mather). 设意象 $X$ 中交换方体 $∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙$ 的底面是推出方块, 且其左面和后面都是拉回方块. 那么方体的前面和右面是拉回方块当且仅当它的顶面是推出方块.

人们一般将此定理的 “当” 方向称为 Mather 第一方体定理, “仅当” 方向称为 Mather 第二方体定理.

注 1.2. 反过来, 若一个可表现范畴 $X$ 满足

•	范畴 $X$ 中余极限都万有, 就是说 $X$ 中每个态射 $f : A \to B$ 诱导的拉回函子 $f^{*} : X_{/ B} \to X_{/ A}$ 都保持余极限.
•	Mather 方体定理在 $X$ 中成立.

那么 $X$ 就是个意象. 注意此时 Mather 方体定理的 “仅当” 方向已经蕴含在 “余极限都万有” 之中.

Mather 方体定理看起来有些抽象, 这里试举一例来演示如何使用它.

命题 2.1. 设 $X$ 是意象, $T Z Y W f ┘ f^{'}$ 是 $X$ 中推出方块. 若 $f$ 是单射, 则 $f^{'}$ 也是单射, 且此方块也是拉回方块.

证明. 观察如下交换方体

T Z T Z T Z Y W f f^{'} f f^{'}

它的顶面和后面依定义为推出-拉回方块,

f

是单射说明左面是拉回方块, 而命题假设底面是推出方块. 于是可以应用 Mather 方体定理的 “当” 方向, 得到前面和右面也是拉回方块. 这就是说原方块也是拉回方块, 且

f^{'}

也是单射.

$□$

Mather 方体定理的 “当” 方向可以推广到一般的模态.

定理 3.1. 设 $X$ 是意象, $(L, R)$ 是 $X$ 上模态. 如果 $X$ 中交换方体 $∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙$ 的顶面和底面都是推出方块, 且其左面和后面都是 $L$ -拉回方块, 那么方体的前面和右面也是 $L$ -拉回方块.

•	Blakers–Massey 定理

术语翻译

Mather 方体定理 • 英文 Mather’s cube theorem