Blakers–Massey 定理

约定. 在本文中,

• 范畴都指 $(\infty ,1)$-范畴.
• 意象都指 $(\infty ,1)$-意象.

Blakers–Massey 定理是个同伦论定理, 说的是如果意象 (例如生象范畴 $\mathsf{Ani}$) 中一个推出方块各边都充分连通, 它就几乎是个拉回方块. 此定理还有个对偶, 说意象中一个拉回方块各边都充分连通, 它就几乎是个推出方块.

1广义 Blakers–Massey 定理

定理 1.1. 设 $\mathcal{X}$ 是个意象, $(\mathcal{L},\mathcal{R})$ 是 $\mathcal{X}$ 上模态. 对 $\mathcal{X}$ 中推出方块$$TZYWgf┘$$若对角态射的推出积 ${\Delta }_f\hat{\times }{\Delta }_g$ 在左类 $\mathcal{L}$ 中, 那么自然态射 $f{\times }_{W}g:T\to Y{\times }_{W}Z$ 也在 $\mathcal{L}$ 中.

证明.

证明. 使用模态的术语, 这里要证上述方块是 $\mathcal{L}$-拉回方块. 若将 $f$ 分解为 $j\circ s$, 其中 $s$ 是有效满射且 $j$ 是单射, 则 ${\Delta }_f$ (在箭头范畴中) 与 ${\Delta }_s$ 同构, 且 $f{\times }_{W}g$ 也与对应的自然态射 $s{\times }_{W^{\prime }}g$ 同构, 因而总可以假设 $f$ 是有效满射. 观察交换图$$T{\times }_{Y}TTZTYW┌{\mathrm{pr}}_2{\mathrm{pr}}_{1}gff$$其左侧方块是拉回且 $f$ 是有效满射, 若能证明外部方块是 $\mathcal{L}$-拉回, 即可用模态的一般理论得到右侧方块也是 $\mathcal{L}$-拉回. 为此, 考虑交换方体$$(T{\times }_{Y}T){\bigsqcup }_T(T{\times }_{Z}T)T{\times }_{Y}TT{\times }_{Z}TTTZYW\mathrm{id}{\bigsqcup }_T({\Delta }_f\circ {\mathrm{pr}}_1){\mathrm{pr}}_2{\bigsqcup }_T{\mathrm{pr}}_2({\Delta }_g\circ {\mathrm{pr}}_1){\bigsqcup }_T\mathrm{id}{\mathrm{pr}}_{1}g\circ {\mathrm{pr}}_1{\mathrm{pr}}_{1}f\circ {\mathrm{pr}}_1\mathrm{can}gf$$不难看出:

•	它的底面已假设为推出方块, 且顶面依定义为推出方块.
•	它的左面是 $\mathcal{L}$-拉回方块, 这是因为对应的自然态射同构于 ${\Delta }_f\hat{\times }{\Delta }_g$ (其到达域为 $(T{\times }_{Y}T)\times (T{\times }_{Z}T)$) 沿$$({\mathrm{pr}}_2{\times }_Y{\mathrm{pr}}_1)\times ({\mathrm{pr}}_2{\times }_Z{\mathrm{pr}}_3):T{\times }_{Y}T{\times }_{Z}T\to (T{\times }_{Y}T)\times (T{\times }_{Z}T)$$的基变换. 同理, 它的后面也是 $\mathcal{L}$-拉回方块.

使用模态的 Mather 方体定理可知它的右面也是 $\mathcal{L}$-拉回方块, 明所欲证.

$\square$

2经典 Blakers–Massey 定理

定理 2.1. 设 $\mathcal{X}$ 是个意象. 对 $\mathcal{X}$ 中推出方块$$TZYWgf┘$$如果 $f$ 为 $n$-连通且 $g$ 为 $m$-连通, 那么自然态射 $f{\times }_{W}g:T\to Y{\times }_{W}Z$ 为 $(n+m)$-连通.

证明. 由映射 $f$ 为 $n$-连通, 可知对角态射 ${\Delta }_f$ 为 $(n-1)$-连通. 同理可得 ${\Delta }_g$ 为 $(m-1)$-连通, 故它们的推出积 ${\Delta }_f\hat{\times }{\Delta }_g$ 为 $(n+m)$-连通. 此时对连通-截断模态使用广义 Blakers–Massey 定理即可.

$\square$

3对偶 Blakers–Massey 定理

定理 3.1. 设 $\mathcal{X}$ 是个意象, $\mathcal{L}$ 是 $\mathcal{X}$ 中一族态射, 其在基变换下封闭. 对 $\mathcal{X}$ 中拉回方块$$TZYW┌hk$$若推出积 $k\hat{\times }h$ 在 $\mathcal{L}$ 中, 那么自然态射 $k{\bigsqcup }_{T}h:Y{\bigsqcup }_{T}Z\to W$ 也在 $\mathcal{L}$ 中.

证明. 推出积 $k\hat{\times }h$ 的到达域是 $W\times W$, 它沿对角态射 ${\Delta }_W:W\to W\times W$ 的基变换正是自然态射 $k{\bigsqcup }_{T}h$, 且 $\mathcal{L}$ 在基变换下封闭, 于是得证.

$\square$

推论 3.2. 设 $\mathcal{X}$ 是个意象. 对 $\mathcal{X}$ 中拉回方块$$TZYW┌hk$$若 $k$ 为 $n$-连通且 $h$ 为 $m$-连通, 那么自然态射 $k{\bigsqcup }_{T}h:Y{\bigsqcup }_{T}Z\to W$ 为 $(n+m+2)$-连通.

4相关概念

•	Freudenthal 纬悬定理
•	Mather 方体定理

5参考文献

Mathieu Anel, Georg Biedermann, Eric Finster, André Joyal (2020). “A generalized Blakers–Massey theorem”. Journal of Topology 13 (4), 1521–1553.

术语翻译

Blakers–Massey 定理 • 英文 Blakers–Massey theorem