Stone–Čech 紧化

Stone–Čech 紧化是个点集拓扑构造, 典范地把拓扑空间变得紧 Hausdorff. 它是紧 Hausdorff 空间范畴到拓扑空间范畴的含入函子之左伴随, 或不严格地说是最大的紧化.

1定义

定义 1.1. 设 $X$ 是拓扑空间. 称满足如下万有性质的拓扑空间 $\beta X$ 以及连续映射 $X\to \beta X$ 为 Stone–Čech 紧化: 对任一紧 Hausdorff 空间 $Y$, $X$ 到 $Y$ 的任一连续映射都唯一地穿过 $X\to \beta X$.

每个拓扑空间都有 Stone–Čech 紧化, 但这很不平凡, 依赖于选择公理. 下面是几种证明方法.

用 Tikhonov 定理

引理 1.2. 设 $Y$ 是 Hausdorff 空间, $X$ 是其稠密子集. 则 $|Y|\le 2^{2^{|X|}}$.

证明. 作 $Y$ 到 $X$ 幂集的幂集 $\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$ 的映射如下: $$y\mapsto \{U\cap X\mid U\subseteq Y是y的开邻域\}.$$则首先每个 $y\in Y$ 的像都是由非空集合组成的集族, 且对有限交封闭. 但由 Hausdorff, 对相异两点 $y,y^{\prime }\in Y$, 存在它们的不交邻域 $U,U^{\prime }$, 这样 $(U\cap X)\cap (U^{\prime }\cap X)\subseteq U\cap U^{\prime }=\varnothing$. 特别地, 相异两点 $y,y^{\prime }\in Y$ 在该映射下的像相异, 亦即该映射是单射. 所以 $|Y|\le 2^{2^{|X|}}$.

$\square$

推论 1.3. 设 $X$ 是拓扑空间. 则存在集合 $S$, 其元素形如 $(Z,f)$, 其中 $Z$ 是紧 Hausdorff 拓扑空间, $f:X\to Z$ 是连续映射, 满足: 对任一紧 Hausdorff 拓扑空间 $Y$ 以及连续映射 $g:X\to Y$, 存在元素 $(Z,f)\in S$, 使得 $g$ 穿过 $f$.

证明. 令 $S$ 的所有元素为形如 $(Z,f)$, 其中 $Z$ 取遍底集为 $\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$ 的子集的紧 Hausdorff 空间, $f$ 取遍连续映射. 这样由幂集公理和分出公理不难发现 $S$ 是集合. 现对任一紧 Hausdorff 拓扑空间 $Y$ 以及连续映射 $g:X\to Y$, 由引理 1.2, $\left|\overline{g(X)}\right|\le 2^{2^{|X|}}$, 所以存在 $(Z,f)\in S$ 使得 $Z\cong \overline{g(X)}$ 且在此同胚下 $f$ 对应于 $g$. 这样 $g$ 自然穿过 $f$.

$\square$

定理 1.4. 每个拓扑空间 $X$ 都有 Stone–Čech 紧化 $\beta X$, 且 $|\beta X|\le 2^{2^{|X|}}$.

证明. 取推论 1.3 中的集合 $S$, 并把对每个 $(Z,f)\in S$ 的映射 $f:X\to Z$ 合起来成为映射$$F:X\to \prod _{(Z,f)\in S}Z,$$然后令 $\beta X=\overline{F(X)}$, 映射 $X\to \beta X$ 就是 $F$. 下证其符合要求. 依定义, $X\to \beta X$ 像集稠密, 所以万有性质中的唯一性显然. 至于存在性, 取紧 Hausdorff 空间 $Y$ 以及连续映射 $g:X\to Y$. 由推论 1.3, 存在 $(Z,f)\in S$ 使得 $g$ 穿过 $f:X\to Z$. 由于 $f$ 无非是 $F$ 往 $(Z,f)$ 分量投影, 自然穿过 $F$, 所以 $g$ 也就穿过 $F$, 存在性得证.

$\square$

用超滤子

用 Gelfand 对偶

以 $B(X)$ 记 $X$ 到复数 $\mathbb{C}$ 的有界连续函数的空间, 则它关于上确界范数和逐点乘法构成 ${\text{C}}^{\ast }$ 代数. 注意对任一 $x\in X$,$${\mathfrak{m}}_x=\{f\in B(X)\mid f(x)=0\}$$是 $B(X)$ 的极大理想, 因为它是 $B(X)$ 到 $\mathbb{C}$ 的满射 $f\mapsto f(x)$ 的核.

定理 1.5. $x\mapsto {\mathfrak{m}}_x$ 是从 $X$ 到 $B(X)$ 的 Gelfand 对偶 $\sigma (B(X))$ 的连续映射, 且是 $X$ 的 Stone–Čech 紧化.

2性质

命题 2.1. $X$ 是 ${\text{T}}_{3.5}$ 空间, 当且仅当 $X\to \beta X$ 是单射, 且 $X$ 的拓扑是从 $\beta X$ 继承的子空间拓扑. 此时 $X$ 局部紧当且仅当它是 $\beta X$ 的开子空间.

3例子

例 3.1. 紧 Hausdorff 空间的 Stone–Čech 紧化是自身.

例 3.2. (写离散空间的 Stone–Čech 紧化.)

例 3.3. 第一不可数序数 ${\omega }_1$ 的 Stone–Čech 紧化是 ${\omega }_1+1$. 一般地, 只要序数 $A$ 的共尾数大于 ${\aleph }_0$, 就有 $\beta A=A+1$.

4相关概念

•	超滤子
•	Tikhonov 定理
•	Tikhonov 空间

术语翻译

Stone–Čech 紧化 • 英文 Stone–Čech compactification • 德文 Stone-Čech-Kompaktifizierung • 法文 compactification de Stone-Čech