Thom 同构定理

Thom 同构定理描述了向量丛的 Thom 空间的上同调与底空间的上同调的同构关系.

1定义

在本条目中, 设 $p:E\to B$ 是 $n$ 维实向量丛, 对 $x\in B$, 记 $E_x=p^{-1}(x)$.

设 $R$ 是固定的系数环. 下文中以 $H^{\bullet }(-;R)$ 表示 $R$ 系数的奇异上同调.

定义 1.1 (向量丛的定向). $E$ 上的一个 $R$-定向就是对每个 $x\in B$, 选取纤维 $E_x$ 的相对上同调类$$\pm 1\in H^n(E_x,E_x\backslash \{0\};R)\cong R,$$使得这些选取是局部相容的.

注 1.2. 若 $2=0\in R$, 则任意向量丛总有一个唯一的 $R$-定向. 否则, 选取 $R$-定向等价于选取 $\mathbb{Z}$-定向.

定义 1.3 (Thom 空间). 在 $E$ 上取定度量 $|-|$. 记$$\begin{array}{rl}D(E)& =\{(x,v)\in E\mid |v|\le 1\},\\ S(E)& =\{(x,v)\in E\mid |v|=1\},\\ \mathrm{Th}(E)& =D(E)/S(E).\end{array}$$商空间 $\mathrm{Th}(E)$ 称为 $E$ 的 Thom 空间.

命题 1.4. 由构造易知 ${\tilde{H}}^{\bullet }(\mathrm{Th}(E);R)\cong H^{\bullet }(E,E\backslash B;R)$. 其中的上同调类可以理解为 “沿纤维方向紧支” 的上同调类.

$\square$

2定理

定理 2.1 (Thom 同构定理). 设向量丛 $E\to B$ 上选定了 $R$-定向. 则:

•	存在唯一的上同调类 $u\in {\tilde{H}}^n(\mathrm{Th}(E);R)$, 称为 Thom 类, 使得它在每一个纤维上的限制$$u{|}_{E_x}\in H^n(E_x,E_x\backslash \{0\};R)$$恰为定向中选定的上同调类.
•	对每个 $k\in \mathbb{Z}$, 映射$$\cup u:H^k(B,R)\to {\tilde{H}}^{k+n}(\mathrm{Th}(E);R)$$是同构, 其中负数位置的上同调群约定为 $0$. 特别地, $\mathrm{Th}(E)$ 是 $(n-1)$-连通空间.

注 2.2. 若 $E,B$ 是光滑流形, 则复合映射$$H^{k+n}(E,E\backslash B;\mathbb{R})\stackrel{\sim }{\to }{\tilde{H}}^{k+n}(\mathrm{Th}(E);\mathbb{R})\stackrel{\sim }{\to }{H}^k(B;\mathbb{R})$$以 de Rham 上同调表示, 就对应于 “沿纤维方向积分”.