Bott 周期律

Bott 周期律是拓扑 $K$ 理论的基本定理, 说的是拓扑空间上复向量丛的 $K$ 理论具有周期 $2$, 实向量丛的 $K$ 理论具有周期 $8$. 它最初由 Raoul Bott 用 Morse 理论证明, 后来又有很多人给出了各种不同的证明.

1陈述

定理 1.1 (复 Bott 周期律). 设 $\mathrm{KU}$ 表示拓扑 $K$ 理论, 即 $[X,\mathrm{KU}]=K_{\mathbb{C}}(X)$. 则有典范的同伦等价 $\beta :\mathrm{KU}\simeq {\Omega }^2\mathrm{KU}$. 特别地, 对整数 $n$ 及拓扑空间 $X$, 总有 $K_{\mathbb{C}}^n(X)=K_{\mathbb{C}}^{n+2}(X)$. $\mathrm{KU}$ 的各阶环路空间伦型及各阶同伦群展示如下: $$\begin{array}{ccc}n& {\Omega }^n\mathrm{KU}& {\pi }_n\mathrm{KU}\\ 0& \mathbb{Z}\times \mathrm{BU}& \mathbb{Z}\\ 1& \mathrm{U}& 0\end{array}$$其中 $\mathrm{U}={\mathrm{colim}}_m\mathrm{U}(m)$, $\mathrm{BU}={\mathrm{colim}}_m\mathrm{BU}(m)$.

定理 1.2 (实 Bott 周期律). 设 $\mathrm{KO}$ 表示实向量丛拓扑 $K$ 理论, 即 $[X,\mathrm{KO}]=K_{\mathbb{R}}(X)$. 则有典范的同伦等价 ${\beta }_{\mathbb{R}}:\mathrm{KO}\simeq {\Omega }^8\mathrm{KO}$. 特别地, 对整数 $n$ 及拓扑空间 $X$, 总有 $K_{\mathbb{R}}^n(X)=K_{\mathbb{R}}^{n+8}(X)$. $\mathrm{KO}$ 的各阶环路空间伦型及各阶同伦群展示如下: $$\begin{array}{ccc}n& {\Omega }^n\mathrm{KO}& {\pi }_n\mathrm{KO}\\ 0& \mathbb{Z}\times \mathrm{BO}& \mathbb{Z}\\ 1& \mathrm{O}& \mathbb{Z}/2\\ 2& \mathrm{O}/\mathrm{U}& \mathbb{Z}/2\\ 3& \mathrm{U}/\mathrm{Sp}& 0\\ 4& \mathbb{Z}\times \mathrm{BSp}& \mathbb{Z}\\ 5& \mathrm{Sp}& 0\\ 6& \mathrm{Sp}/\mathrm{U}& 0\\ 7& \mathrm{U}/\mathrm{O}& 0\end{array}$$其中 $\mathrm{O}={\mathrm{colim}}_m\mathrm{O}(m)$, $\mathrm{Sp}={\mathrm{colim}}_m\mathrm{Sp}(m)$, 分类空间类似. 这里 $\mathrm{Sp}(m)$ 表示紧辛群, 即标准四元数内积空间 ${\mathbb{H}}^m$ 的自同构群, 商空间 $\mathrm{O}/\mathrm{U}$ 和 $\mathrm{U}/\mathrm{Sp}$ 由遗忘四元数结构和复结构给出的嵌入 $\mathrm{Sp}(m)\to \mathrm{U}(2m)\to \mathrm{O}(4m)$ 定义, 商空间 $\mathrm{Sp}/\mathrm{U}$ 和 $\mathrm{U}/\mathrm{O}$ 则由沿 $\mathbb{R}\to \mathbb{C}\to \mathbb{H}$ 基变换给出的嵌入 $\mathrm{O}(m)\to \mathrm{U}(m)\to \mathrm{Sp}(m)$ 定义.

注 1.3. 从定理 1.2 可立即看出, 如设 $\mathrm{KSp}$ 表示四元数向量丛的拓扑 $K$ 理论, 即 $[X,\mathrm{KSp}]=K_{\mathbb{H}}(X)$, 则有典范的同伦等价 ${\beta }_{\mathbb{H}}:\mathrm{KSp}\to {\Omega }^8\mathrm{KSp}$, 从而也有 $K_{\mathbb{H}}^n(X)=K_{\mathbb{H}}^{n+8}(X)$. $\mathrm{KSp}$ 的各阶环路空间伦型及各阶同伦群展示如下: $$\begin{array}{ccc}n& {\Omega }^n\mathrm{KSp}& {\pi }_n\mathrm{KSp}\\ 0& \mathbb{Z}\times \mathrm{BSp}& \mathbb{Z}\\ 1& \mathrm{Sp}& 0\\ 2& \mathrm{Sp}/\mathrm{U}& 0\\ 3& \mathrm{U}/\mathrm{O}& 0\\ 4& \mathbb{Z}\times \mathrm{BO}& \mathbb{Z}\\ 5& \mathrm{O}& \mathbb{Z}/2\\ 6& \mathrm{O}/\mathrm{U}& \mathbb{Z}/2\\ 7& \mathrm{U}/\mathrm{Sp}& 0\end{array}$$

2证明

用 Morse 理论

用算子 $K$ 理论

直接证明

复 Bott 周期律形式简单: 依定义 $\Omega (\mathbb{Z}\times \mathrm{BU})=\mathrm{U}$, 故只需证 $\Omega \mathrm{U}=\mathbb{Z}\times \mathrm{BU}$. 这件事有些直接的证明, 难以移植到实 Bott 周期律上.

证明. 回忆拓扑 $K$ 理论是向量丛沿直和构成的半群的群化, 故而 $\mathrm{KU}=\mathbb{Z}\times \mathrm{BU}$ 是 ${⨆}_{m\in \mathbb{N}}\mathrm{BU}(m)$ 的群化, 这里半群结构是直和. 一般而言, 幺半群 $M$ 的群化等价于 $\Omega \mathrm{B}M$, 故只需证 $\mathrm{U}=\mathrm{B}\left({⨆}_{m\in \mathbb{N}}\mathrm{BU}(m)\right)$. 用杠构造计算分类空间, 得$$\mathrm{B}\left(\underset{m\in \mathbb{N}}{⨆}\mathrm{BU}(m)\right)=\underset{n\in {\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}}{\mathrm{colim}}{\left(\underset{m\in \mathbb{N}}{⨆}\mathrm{BU}(m)\right)}^n;$$以下给等号右边找个模型, 以看出它等价于 $\mathrm{U}$.

考虑可数维复内积空间 $V={\mathbb{C}}^{\oplus \mathbb{N}}={\mathrm{colim}}_m{\mathbb{C}}^m$, 其中 ${\mathbb{C}}^m$ 取标准内积, ${\mathbb{C}}^m\to {\mathbb{C}}^{m+1}$ 取标准含入. 令 $X_n$ 为 $V$ 中 $n$ 个两两正交的有限维子空间 $(V_1,\dots ,V_n)$ 组成的集合, 带自然的拓扑, 并定义 $X_n$ 到 $X_{n-1}$ 的 $n+1$ 个面映射分别为扔掉首项、把相邻两项直和、扔掉末项. 显然这些 $X_n$ 构成单纯拓扑空间, 以下分别证明其几何实现等价于 $\mathrm{U}$ 与 ${\mathrm{colim}}_{n\in {\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}}{\left({⨆}_{m\in \mathbb{N}}\mathrm{BU}(m)\right)}^n$.

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把子空间等同于正交投影算子, 可把 $X_n$ 视为有限秩正交投影算子组 $(E_1,\dots ,E_n)$ 的集合, 其中对 $i\ne j$, $E_i{E}_j=0$. 这样面映射就是扔掉首项、把相邻两项相加、扔掉末项. 把标准单形 ${\Delta }^n$ 等同于$$\{(t_1,\dots ,t_n)\mid 0\le t_1\le \cdots \le t_n\le 1\},$$并把 ${\mathrm{colim}}_{n\in {\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}}{X}_n$ 实现为 ${⨆}_{n\in \mathbb{N}}({\Delta }^n\times X_n)$ 的商空间. 则由酉变换的谱分解, 容易验证以下公式给出这个商空间到 $\mathrm{U}$ 的同胚: $$((t_1,\dots ,t_n),(E_1,\dots ,E_n))\mapsto \exp (2\pi \mathrm{i}(t_1{E}_1+\cdots +t_n{E}_n)).$$

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只需证 $X_n$ 和 ${\left({⨆}_{m\in \mathbb{N}}\mathrm{BU}(m)\right)}^n$ 构成的单纯空间等价. 依定义$$X_1=\underset{m\in \mathbb{N}}{⨆}\mathrm{Gr}(V,m)\simeq \underset{m\in \mathbb{N}}{⨆}\mathrm{BU}(m);$$于是只需证 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 中 $[1]\to [n]$ 的 $n$ 个映射 $\{0,1\},\dots ,\{n-1,n\}\subseteq \{0,1,\dots ,n\}$ 所诱导的 $X_n\to X_1^n$ 是同伦等价. 由 $V$ 无穷维不难看出这件事. (可展开写.)

$\square$

3相关概念

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Morse 理论

术语翻译

Bott 周期律 • 英文 Bott periodicity