同伦层级

同伦层级是高阶范畴论中的概念, 表示高阶结构中, 例如 $\infty$-范畴、$\infty$-叠等中, 高阶结构的层数. 这一概念是如下现象的总结:

•	在单点集或空集中, 任意两个元素均相等, 且以唯一的方式相等.

•	在集合中元素可能不相等, 但如果相等则只有一种相等的方法.

•	在范畴中对象可能不同构, 同构的对象之间也有可能不止一个同构, 但相等的同构只有一种相等的方法.

我们此时称三者的同伦层级为 $-1,0,1$. 更一般地, “高阶结构 $X$ 的同伦层级是 $n$”, 大致是说以下性质:

•	对 $X$ 中两个对象, 这两个对象之间可能有同构; 对两个这样的同构, 可能有同构间的同构, 即 $2$-同构. 以此类推, 我们只允许有非平凡的 $n$-同构, 而所有更高级的同构都一定是平凡的.

由定义可以发现, 同伦层级满足如下递归性质:

•	同伦层级为 $n$ 的范畴中, 两对象的态射范畴的同伦层级为 $n-1$.

由此还可以定义负数层级. 由于集合 (层级为 $0$) 的两个元素间的态射为空集或单点集, 可以将空集和单点集的同伦层级视为 $-1$. 又由于空集或单点集的两个元素间态射必为单点集, 可以将单点集的同伦层级视为 $-2$. 在高阶范畴论中, 通常认为 $-2$ 是同伦层级中的最底层.

1例子

下表列出了每一同伦层级对应的数学对象. 这里, 我们将拓扑空间视为 $\infty$-群胚, 从而视为高阶结构.

同伦层级	范畴	拓扑空间	高阶代数	高阶几何	意象	类型
$-2$	单点集	可缩空间				单位类型
$-1$	单点集或空集	可缩空间或空空间				命题
$0$	偏序集	集合	群、环等	流形、概形	位象	集合
$1$	范畴	$1$ 维 CW 复形	$2$-群、$2$-环等	叠	意象	群胚
$2$	$2$-范畴	$2$-截断空间	$3$-群、$3$-环等	$2$-叠	$2$-意象	$2$-类型
$n$	$n$-范畴	$n$-截断空间	$(n+1)$-群等	$n$-叠	$n$-意象	$n$-类型
$\infty$	$\infty$-范畴	拓扑空间	${\mathbb{E}}_1$-群、${\mathbb{E}}_{\infty }$-环	$\infty$-叠	$\infty$-意象	类型

这个编号的大致原则是使 “$1$-某某” 与 “普通的某某” 成为同义词, 这也是为什么要从 $-2$ 而不是 $0,1$ 开始编号.

术语翻译

同伦层级 • 英文 homotopy level