道路连通空间

在拓扑学中, 道路连通空间是一类拓扑空间, 类似连通空间, 但使用一种略微不同的方式来刻画空间的连通性. 具体而言, 道路连通空间是指其中任何两点都能被一条道路所连接的空间.

组成拓扑空间的那些道路连通的部分称为道路连通分支. 空间 $X$ 的道路连通分支的集合 ${\pi }_0(X)$ 也是其第 $0$ 阶同伦群. 虽然如此称呼, 但 ${\pi }_0(X)$ 一般并没有群结构.

所有道路连通空间都是连通空间, 但反之则不一定, 见下文 “性质” 一节.

1定义

道路连通空间

定义 1.1 (道路连通空间). 拓扑空间 $X$ 称为道路连通空间, 如果下列条件成立:

•

$X$ 非空.

•	对任意 $x,y\in X$, 存在连续映射 $\gamma :[0,1]\to X$, 使得 $\gamma (0)=x$ 且 $\gamma (1)=y$.

注 1.2. 定义 1.1 表明, 空空间不是道路连通空间. 这是平凡对象不是单对象的一个例子.

道路连通分支

定义 1.3 (道路连通分支). 设 $X$ 是拓扑空间. 在 $X$ 上定义等价关系 $\sim$ 如下:

•	$x\sim y$ 当且仅当存在连续映射 $\gamma :[0,1]\to X$, 使得 $\gamma (0)=x$ 且 $\gamma (1)=y$.

该等价关系的每个等价类称为 $X$ 的一个道路连通分支 (或道路分支).

$X$ 的所有道路连通分支的集合记为 ${\pi }_0(X)$, 称为 $X$ 的第 $0$ 个同伦群. 虽然如此称呼, 但 ${\pi }_0(X)$ 一般并不是群.

一个空间的道路连通分支不一定是闭集, 也不一定是开集.

事实上, 任取一个连通而有两个道路分支的空间 (如下文提到的拓扑学家的正弦曲线), 则它的两个道路分支不能都是闭集, 也不能都是开集.

这也说明, 一个空间不一定同胚于其道路连通分支的无交并.

2性质

基本性质

•	道路连通空间都是连通空间. 特别地, 一个空间的每个道路连通分支都包含于某个连通分支.

•	反过来, 连通空间不一定是道路连通空间. 但连通且局部道路连通的空间一定是道路连通空间.

•	道路连通空间在连续映射下的像也是道路连通空间.

3例子

连通但不道路连通的空间

拓扑学家的正弦曲线是连通但不道路连通的空间. 该空间定义为 ${\mathbb{R}}^2$ 的子空间$$X=\{(0,0)\}\cup \left\{(x,\sin \frac{1}{x})|x>0\right\}.$$

4相关概念

术语翻译

道路连通空间 • 英文 path-connected space • 德文 wegzusammenhängender Raum (m) • 法文 espace connexe par arcs (m) • 日文 弧状連結空間 (こじょうれんけつくうかん) • 韩文 경로 연결 공간 (經路連結空間)

道路连通分支 • 英文 path-connected component • 德文 wegzusammenhängende Komponente (f) • 法文 composante connexe par arcs (f) • 日文 弧状連結成分 (こじょうれんけつせいぶん) • 韩文 경로 연결 성분 (經路連結成分)