反函数定理

在微积分中, 反函数定理给出了逆映射存在的一个充分条件. 它说明, 如果一个映射的切映射 (即 Jacobi 矩阵) 在某一点可逆, 那么这个映射在这一点附近具有逆映射.

1定理和证明

定理 1.1 (反函数定理). 设 $U\subset {\mathbb{R}}^n$ 是开集, $f:U\to {\mathbb{R}}^n$ 是一个 $C^p$ 映射 ($1\le p\le \infty$). 假设

•	$f$ 在 $x_0\in U$ 处的 Jacobi 矩阵 $f^{\prime }(x_0)$ 是可逆矩阵.

那么存在开集 $V\subset U$, $x_0\in V$, 以及开集 $W\subset {\mathbb{R}}^n$, $f(x_0)\in W$, 使得$$f{|}_V:V\simeq W$$是 $C^p$ 微分同胚. 并且, 对任意 $x\in V$, 若记 $y=f(x)$, 则$$(f^{-1}{)}^{\prime }(y)=f^{\prime }(x{)}^{-1}.$$

证明. 通过平移, 不妨设 $x_0=0$ 及 $f(x_0)=0$. 记 $A=f^{\prime }(0)$, 并设 $g(x)=A^{-1}f(x)-x$. 取 $0$ 的邻域 $U^{\prime }\subset U$, 使得对任意 $x\in U^{\prime }$, 有 $\det f^{\prime }(x)\ne 0$, 且 $\Vert g^{\prime }(x)\Vert <1/2$, 其中 $\Vert \cdot \Vert$ 表示矩阵范数. 则对任意 $x_1,x_2\in U^{\prime }$, 有$$|A^{-1}f(x_1)-A^{-1}f(x_2)|\ge |x_1-x_2|-|g(x_1)-g(x_2)|\ge \frac{1}{2}|x_1-x_2|,$$从而 $|f(x_1)-f(x_2)|\ge C|x_1-x_2|$, 其中 $C=1/(2\Vert A^{-1}\Vert )$. 特别地, $f{|}_{U^{\prime }}$ 是单射.

取 $W=B_{\epsilon C}(0)$ 为半径 $\epsilon C$ 的开球, 其中 $\epsilon >0$ 取得使 $B_{\epsilon }(0)\subset U^{\prime }$. 对每个固定的 $y\in W$, 考虑映射$$T_y(x)=x-A^{-1}(f(x)-y)=A^{-1}y-g(x),$$其中 $x\in B_{\epsilon }(0)$. 则 $x$ 是 $T_y$ 的不动点当且仅当 $f(x)=y$. 我们想证明 $T_y$ 是压缩映射, 从而这样的 $x$ 存在. 我们有$$|T_y(x)|\le |A^{-1}y|+|g(x)|\le \frac{1}{2C}|y|+\frac{1}{2}|x|<\epsilon ,$$其中我们使用了 $|y|<\epsilon C$. 这说明 $T_y(B_{\epsilon }(0))\subset B_{\epsilon }(0)$. 另一方面, 对任意 $x_1,x_2\in B_{\epsilon }(0)$, 有$$|T_y(x_1)-T_y(x_2)|=|g(x_1)-g(x_2)|\le \frac{1}{2}|x_1-x_2|,$$这里我们使用了 $\Vert g^{\prime }(x)\Vert <1/2$. 这说明 $T_y:B_{\epsilon }(0)\to B_{\epsilon }(0)$ 的确是压缩映射. 因此, $T_y$ 存在不动点, 即存在 $x\in B_{\epsilon }(0)$, 使得 $f(x)=y$. 并且, 这样的不动点在 $B_{\epsilon }(0)$ 中是唯一的.

记 $V=f^{-1}(W)\cap B_{\epsilon }(0)$. 我们已经证明 $f{|}_V$ 是双射. 记其逆映射为 $f^{-1}:W\to V$. 对 $y_1,y_2\in W$, 我们有 $|f^{-1}(y_1)-f^{-1}(y_2)|\le (1/C)|y_1-y_2|$. 因此, $f^{-1}$ 在 $W$ 上连续, 从而 $f{|}_V$ 是同胚.

接下来, 我们证明 $f^{-1}$ 是连续可微的, 且其导数 $(f^{-1}{)}^{\prime }$ 由定理叙述中的公式给出. 固定 $y_0\in W$, 记 $x_0=f^{-1}(y_0)\in V$ (注意这与定理叙述中的记号不同). 由于 $f{|}_V$ 是同胚, 我们有$$\begin{array}{rl}& \underset{y\to y_0}{\lim }\frac{|f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)-f^{\prime }(x_0{)}^{-1}(y-y_0)|}{|y-y_0|}\\ =& \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{|x-x_0-f^{\prime }(x_0{)}^{-1}(f(x)-f(x_0))|}{|f(x)-f(x_0)|}\\ =& \underset{x\to x_0}{\lim }|f^{\prime }(x_0{)}^{-1}\left(\frac{f(x)-f(x_0)-f^{\prime }(x_0)(x-x_0)}{|x-x_0|}\right)|\cdot \frac{|x-x_0|}{|f(x)-f(x_0)|}\\ =& 0.\end{array}$$这说明 $f^{-1}$ 在 $y_0$ 处可微, 其微分为 $f^{\prime }(x_0{)}^{-1}$.

最后, 为证明 $f^{-1}$ 是 $C^p$ 的, 我们只需证明映射 $y\mapsto f^{\prime }(f^{-1}(y){)}^{-1}$ 是 $C^{p-1}$ 的. 这可以对 $p$ 归纳完成: 我们知道 $y\mapsto f^{-1}(y)$ 是连续 (即 $C^0$) 的, $f^{\prime }$ 是连续的, $(-{)}^{-1}$ 是 $C^{\infty }$ 的, 所以这三个映射的复合 $y\mapsto f^{\prime }(f^{-1}(y){)}^{-1}$ 是 $C^0$ 的, 从而 $f^{-1}$ 是 $C^1$ 的. 如果 $f$ 还是 $C^2$ 的, 那么 $f^{\prime }$ 是 $C^1$ 的, 同理知 $y\mapsto f^{\prime }(f^{-1}(y){)}^{-1}$ 是 $C^1$ 的, 从而 $f^{-1}$ 是 $C^2$ 的, 以此类推.

$\square$

推论 1.2 (流形上的反函数定理). 设 $X,Y$ 是光滑流形, $f:X\to Y$ 是一个光滑映射. 假设

•	$f$ 在 $x_0\in X$ 处的切映射 $d{f}_{x_0}$ 是可逆线性映射.

那么存在开集 $V\subset X$, $x_0\in V$, 以及开集 $W\subset Y$, $f(x_0)\in W$, 使得$$f{|}_V:V\simeq W$$是微分同胚. 并且, 对任意 $x\in V$, 若记 $y=f(x)$, 则$$d(f^{-1}{)}_y=(d{f}_x{)}^{-1}.$$$\square$

2推论

术语翻译

反函数定理 • 英文 inverse function theorem