介值定理

注意区分本文与 “中值定理”.

在微积分学中, 介值定理是指如下定理: 若有连续函数 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, 则介于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的所有实数都能被 $f$ 取到.

例如, 基于此性质, 我们可以寻找函数的零点: 如果我们发现 $f(a)<0$ 且 $f(b)>0$, 则一定有 $x\in [a,b]$ 使 $f(x)=0$. 我们可以进一步将 $[a,b]$ 划分成更小的区间, 以更精确地计算 $x$ 的值. 这也称为二分法.

1叙述与证明

定理 1.1 (介值定理). 设 $a<b$ 为实数, $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 为连续函数. 则 $f$ 的值域 $f([a,b])\subset \mathbb{R}$ 一定是闭区间 (包括单点集).

特别地, 介于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的所有实数都能被 $f$ 取到.

证明. 由于闭区间 $[a,b]$ 是紧、连通的, 其像 $f([a,b])$ 也如此. 但 $\mathbb{R}$ 的连通子集只能是区间 (包括单点集); 由 Heine–Borel 定理, 紧的区间一定是闭区间.

$\square$

术语翻译

介值定理 • 英文 intermediate value theorem • 德文 Zwischenwertsatz (m) • 法文 théorème des valeurs intermédiaires (m)