仿射空间 (代数几何)

关于一般的概念, 请参见 “仿射空间”.

在代数几何中, 仿射空间是一类基本的空间. 具体而言, 域 $k$ 上的 $n$ 维仿射空间, 记为 ${\mathbb{A}}_k^n$, 也就是 $k$ 上的 $n$ 维向量空间 $k^n$ 在代数几何中的版本. 它是 $k$ 上的仿射概形, 也是 $k$ 上的仿射代数簇.

准确来说, 仿射空间通过代数–几何对偶的观点来定义, 也就是将空间对应到它的函数环. 在代数几何中, 我们考虑的函数是多项式函数, 因此, 空间 $k^n$ 上的函数环就是 $n$ 元多项式环 $k[x_1,\dots ,x_n]$. 代数–几何对偶的观点说明, 可以通过该函数环来描述原来的空间. 从而, 我们定义仿射空间为$${\mathbb{A}}_k^n=\mathrm{Spec}k[x_1,\dots ,x_n],$$即多项式环 $k[x_1,\dots ,x_n]$ 的素谱. 通过交换代数中的 Hilbert 零点定理, 可以具体地验证上述观点, 也就是验证在 $k$ 是代数闭域的假设下, 该素谱中的闭点可以等同于向量空间 $k^n$ 的点. 当 $k$ 不是代数闭域时, 仿射空间将包含更多的点, 这使得仿射空间含有比向量空间 $k^n$ 更多的信息.

从仿射空间出发, 可以构造出所有的代数簇, 因为所有仿射代数簇都是仿射空间中多项式的零点集, 而所有代数簇都可以由仿射代数簇拼接得到.

1定义

定义 1.1. 设 $R$ 是交换环, $n$ 是自然数. 则 $R$ 上的 $n$ 维仿射空间 ${\mathbb{A}}_R^n$ 定义为概形$${\mathbb{A}}_R^n=\mathrm{Spec}R[x_1,\dots ,x_n],$$其中 $R[x_1,\dots ,x_n]$ 为 $n$ 元多项式环.

更一般地, 设 $S$ 是概形, $n$ 是自然数. 则 $S$ 上的 $n$ 维仿射空间 ${\mathbb{A}}_S^n$ 定义为纤维积概形$${\mathbb{A}}_S^n=S\underset{\mathrm{Spec}\mathbb{Z}}{\times }\mathrm{Spec}\mathbb{Z}[x_1,\dots ,x_n].$$也常将投影态射 ${\mathbb{A}}_S^n\to S$ 视为 $S$-概形, 而称该 $S$-概形为仿射空间.

在上述定义中, 若取 $S=\mathrm{Spec}R$, 则由纤维积概形的性质, 可得到$$\begin{array}{rl}{\mathbb{A}}_{\mathrm{Spec}R}^n& \simeq \mathrm{Spec}(R\underset{\mathbb{Z}}{\otimes }\mathbb{Z}[x_1,\dots ,x_n])\\ & \simeq \mathrm{Spec}R[x_1,\dots ,x_n]\\ & \simeq {\mathbb{A}}_R^n,\end{array}$$故定义的第一条是第二条当 $S=\mathrm{Spec}R$ 时的特例.

2例子

•	设 $k$ 是域, $n$ 是自然数. 我们用如下方式把仿射空间 ${\mathbb{A}}_k^n$ 和向量空间 $k^n$ 等同起来. 对 $a_1,\dots ,a_n\in k$, 在仿射空间 ${\mathbb{A}}_k^n$ 中, 可以定义一个闭点$$(a_1,\dots ,a_n)\in {\mathbb{A}}_k^n,$$它对应极大理想$$(x_1-a_1,\dots ,x_n-a_n)\subset k[x_1,\dots ,x_n].$$若 $k$ 是代数闭域, 则 Hilbert 零点定理的推论表明, 这些点就是 ${\mathbb{A}}_k^n$ 中的所有闭点.

•	更一般地, 设 $R$ 是交换环, $n$ 是自然数. 则对 $a_1,\dots ,a_n\in R$, 在仿射空间 ${\mathbb{A}}_R^n$ 中, 可以定义 $R$-点$$(a_1,\dots ,a_n):\mathrm{Spec}R⟶{\mathbb{A}}_R^n,$$它由环同态$$\begin{array}{rl}R[x_1,\dots ,x_n]& ⟶R,\\ x_i& ⟼a_i\end{array}$$给出.

3性质

4相关概念

术语翻译

仿射空间 • 英文 affine space • 德文 affiner Raum (m) • 法文 espace affine (m)