用户: 遗忘的左伴随/代数几何/层论—“连接局部与整体”

层是一种对于几何对象赋予代数结构的手段, 它是将拓扑与代数相结合的一条路径 ¹.
在上一讲中, 我们已然发现 $\mathrm{Spec}A$ 作为拓扑空间仍然具有较大的局限性, 比如对于不同的域 $k,k^{\prime }$, 我们无法对于 $\mathrm{Spec}k$ 与 $\mathrm{Spec}{k}^{\prime }$ 进行区分, 而现在, 我们试着通过层来记录一些代数信息, 对于它们进行区分.
本讲首先讲述拓扑空间上的层 ², 而后针对 Zariski 拓扑不够好这一点对于层的概念进行一些合理的延拓 ³, 而后再给出一些层的例子, 说明层这一观点的泛用性.

1拓扑空间上的层

预层

在定义层之前, 我们需要定义什么叫做预层, 它并没有给出很多的信息, 它只是一大堆杂乱无章的数据.

定义 1.1 ($\mathcal{D}$-值预层). 令 $X$ 为拓扑空间, $\mathcal{D}$ 为范畴, $\mathrm{Open}(X)$ 为 $X$ 上开集构成 (以包含关系作为态射) 的范畴. 则 $X$ 上的 $\mathcal{D}$-值预层 $\mathcal{F}$ 就是一个函子$$\mathcal{F}:\mathrm{Open}(X{)}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{D}$$也即 $\mathrm{Open}(X)$ 到 $\mathcal{D}$ 的一个反变函子. 将全体 $\mathcal{D}$-值预层构成的范畴记为 $\mathsf{PSh}(\mathrm{Open}(X),\mathcal{D})$, 特别地, 取 $\mathcal{D}=\mathrm{Set}$ 时记为 $\mathrm{Open}(X{)}^{\wedge }$.

这样的定义有些许的抽象, 但是我们可以将其显式的写出来 ⁴

定义 1.2. 设 $X$ 是拓扑空间, $\mathcal{D}$ 是范畴. 则 $X$ 上取值于 $\mathcal{D}$ 的预层 $\mathcal{F}$ 由以下信息组成:

•	对每个开集 $U\subset X$, 有一个对象$$\mathcal{F}(U)\in \mathcal{D},$$称为 $U$ 上 $\mathcal{F}$ 的所有截面构成的空间.
•	对任两个开集 $U\subset V\subset X$, 有一个 $\mathcal{D}$ 中的态射$${\mathrm{res}}_U^V:\mathcal{F}(V)\to \mathcal{F}(U),$$称为限制映射. 这个映射通常也记为 $(-){|}_U$. 限制映射还满足如下函子性要求: ∘ ${\mathrm{res}}_U^U=1_{\mathcal{F}(U)}$. ∘ 对于任意满足 $U\subset V\subset W$ 的开集, 都有 ${\mathrm{res}}_U^W={\mathrm{res}}_U^V\circ {\mathrm{res}}_V^W$.

当 $\mathcal{D}=\mathsf{Set}$ 为集合范畴时, 通常称 $\mathcal{F}$ 为集合预层; 当 $\mathcal{D}=\mathsf{Ab}$ 为 Abel 群范畴时, 通常称 $\mathcal{F}$ 为 Abel 预层, 以此类推.

注 1.3. $\mathcal{F}(U)$ 有时也写为 $\Gamma (U,\mathcal{F})$, 这种写法有时更利于操作, 可以看做一种算子.

层与其上的构造

接下来我们介绍什么是层, 层是满足 “局部决定整体” 的预层: 对任一开集 $U$ 以及 $U$ 的任一开覆盖, $U$ 的每个截面都能由开覆盖中的小截面拼凑而成; 在每个小开集上选取截面, 若它们相容 (在重叠处吻合), 就能唯一地决定 $U$ 上的截面. 这种性质称为层公理, 首先, 我们在集合的情况下形式地将其写出.

定义 1.4 (集合层). 令 $X$ 为拓扑空间, $\mathcal{F}\in \mathrm{Open}(X{)}^{\wedge }$ 为集合预层, $U\in \mathrm{Open}(X)$ 为开集, $(U_i\hookrightarrow U{)}_{i\in I}$ 为开覆盖, 若满足以下条件

1.	(粘接性质) 若对每个 $i\in I$, 给定截面 $s_i\in \mathcal{F}(U_i)$, 使得对任意 $i,j\in I$ 都有 $s_i{\mid }_{U_i\cap U_j}=s_j{\mid }_{U_i\cap U_j}$, 则存在 $s\in \mathcal{F}(U)$ 使得任意 $i\in I$ 都有 $s_i=s{\mid }_{U_i}$.
2.	(唯一性) 给定截面 $s\in \mathcal{F}(U)$ 若对任意 $i\in I$ 都有 $s{\mid }_{U_i}=0$ 则有 $s=0$.

满足以上两条性质的预层 $\mathcal{F}$ 称为 (集合) 层.

注 1.5. 当取范畴 $\mathcal{D}$ 为 $\mathrm{Ab},\mathrm{CRing}$ 时得到的层为 Abel 群层和交换环层, 本文主要考虑 Abel 群层的情况.

根据前文的定义, 我们可以将层提炼为更加抽象的公理形式.

定义 1.6 ($\mathcal{D}$-值层). 设 $X$ 为拓扑空间, $\mathcal{D}$ 为范畴, 设 $\mathcal{F}\in \mathsf{PSh}(\mathrm{Open}(X),\mathcal{D})$. 满足以下条件的预层 $\mathcal{F}$ 被称为是一个层: 对任意开集 $U\subset X$ 以及 $U$ 的任意开覆盖 $(U_i\hookrightarrow U{)}_{i\in I}$ 图表$$\mathcal{F}(U)\to \prod _{i\in I}\mathcal{F}(U_i)\rightrightarrows \prod _{j,k\in I}\mathcal{F}(U_j\cap U_k)$$都是等子图表, 其中

•	左边的箭头将 $\mathcal{F}(U)$ 限制到每个 $\mathcal{F}(U_i)$.
•	右边上方的箭头将每个 $\mathcal{F}(U_i)$ 限制到每个 $\mathcal{F}(U_i\cap U_k)$.
•	右边下方的箭头将每个 $\mathcal{F}(U_i)$ 限制到每个 $\mathcal{F}(U_j\cap U_i)$.

此图表称为层公理.

接下来举几个层与预层并非层的例子.

例 1.7.

1.	设 $X$ 为拓扑空间, 定义其上的连续函数层 $\mathcal{F}$ 为$$\mathcal{F}(U):=\left\{\text{连续函数}U\to \mathbb{R}\right\}$$
2.	取 $X={\mathbb{R}}^n$ 或微分流形时, 定义其上的光滑函数层 $\mathcal{F}$ 为$$\mathcal{F}(U):=\left\{C^{\infty }\text{函数}U\to \mathbb{R}\right\}$$
3.	取 $X$ 为拓扑空间, $A\in \mathrm{Ab}$ 为 Abel 群, 定义 $X$ 上取值于 $A$ 的局部常值层 ${\underline{A}}_X$ 为$${\underline{A}}_X:=\left\{\text{局部常值函数}U\to A\right\}$$此处 $A$ 予以离散拓扑.

注 1.8. 此时可以发现对任意 $U\ne \varnothing$ 取 $\mathcal{F}(U)=A$ 时得到的层只是一个预层而不是层 (只需要取 $U\cap V=\varnothing$ 且 $s,t\in A$,$s\in \mathcal{F}(U)$ 而 $t\in \mathcal{F}(V)$ 可知 $s{\mid }_{U\cap V}=t{\mid }_{U\cap V}=0$ 但是 $s\ne t$).

接下来, 阐述一些层上的构造, 首先让我们聚焦于层在一点处的局部信息—茎.

定义 1.9 (茎). 设 $X$ 为拓扑空间, $\mathcal{F}$ 为其上的 (预) 层, 给定 $x\in X$, 可以定义 $\mathcal{F}$ 在 $x$ 处的茎$${\mathcal{F}}_x:=\underset{x\in U}{\mathrm{colim}}\mathcal{F}(U)$$更具体的说,${\mathcal{F}}_x$ 中的元素为形如 $(U,s)$ 的等价类, 其中 $U$ 为 $x$ 的某个邻域, $s\in \mathcal{F}(U)$ 为截面, $(U,s)$ 称为芽. 对于两个芽 $(U,s)$, $(V,t)$, 若存在 $W\subset V\cap U$ 为 $x$ 的邻域使得 $s{\mid }_W=t{\mid }_W$, 则称这两个芽等价. 芽 $(U,s)$ 有时也简记为 $s_x$.

注 1.10.

•	若 $X$ 具有一组基 $\{U_i\}$ 在有限交下稳定, 则 $X$ 上的任意层都可以唯一地由 $\{\mathcal{F}(U_i)\}$ 所决定. $$\underset{U_i\hookrightarrow U}{\lim }\mathcal{F}(U_i)=\mathcal{F}(U).$$
•	取 $\mathcal{F}$ 为 $X$ 上的 (预) 层, $U\subset X$ 为开集, 则 $\mathcal{F}{\mid }_U$ 为 $U$ 上的 (预) 层.
•	取 $\mathcal{F}$ 为 $X$ 上的 (预) 层, $U\subset X$ 为开集, $x\in U$ 为一点, 则 $s\in \mathcal{F}(U)$ 可推知 $s_x\in {\mathcal{F}}_x$.
•	若 $\mathcal{F}$ 为 $X$ 上的层, 且 $s,t\in \mathcal{F}(U)$, 则 $s=t$ 当且仅当对任意 $x\in U$ 都有 $s_x=t_x$5. 这说明茎记载了层的最局部的信息.

定义了一个数学对象之后, 我们就需要考虑数学对象之间的互动, 因此接下来考虑 (预) 层之间的态射.

定义 1.11 ((预) 层间的态射). 设 $X$ 为拓扑空间, 取 $\mathcal{F},\mathcal{G}$ 为 $X$ 上的 (预) 层, 它们间的态射 $\phi :\mathcal{F}\to \mathcal{G}$ 是一族群同态 $\{{\phi }_U:\mathcal{F}(U)\to \mathcal{G}(U)\}$ 满足以下的相容性条件: 对于任意的 $V\subset U$ 都有图表交换.

注 1.12.

•	若 $\phi :\mathcal{F}\to \mathcal{G}$ 为层间的态射, 且拓扑空间 $X$ 具有满足注记 1.10 所述条件的基, 则 $\phi$ 被 ${\phi }_{U_i}:\mathcal{F}(U_i)\to \mathcal{G}(U_i)$ 所唯一确定.
•	若 $\phi :\mathcal{F}\to \mathcal{G}$ 为 (预) 层间的态射, 则对于任意 $x\in X$ 有 ${\phi }_x:{\mathcal{F}}_x\to {\mathcal{G}}_x$ 为相应茎间的态射.

接下来就需要定义何谓层的同构 (这时候我们想需要做一些线性代数的东西, 比如定义层态射的核, 像, 余核).

定义 1.13 (核). 设 $\phi :\mathcal{F}\to \mathcal{G}$ 是 $X$ 上层之间的态射, 定义$$\ker \phi (U):=\ker ({\phi }_U:\mathcal{F}(U)\to \mathcal{G}(U)).$$称其为层之间态射的核.

容易验证 $\ker \phi$ 也是一个层, 留作习题. 定义了核我们也就可以定义何谓单射 (用同调代数的知识).

定义 1.14. 若 $\ker \phi =0$ 则称 $\phi$ 为单态射.

层化

⁶但是在构造像的时候我们就遇到了问题. 最初遇到的节点是在复分析上.

例 1.15. 考虑 $X=C^{\times }=C\setminus \{0\}$, 赋予其经典拓扑 (或称解析拓扑) 得到 $X^{\mathrm{an}}$. 考虑以下层

•	$O_{X^{\mathrm{an}}}(U):=\{\text{全纯函数}:U\to C\}$ 为 Abel 群层 (加法层).
•	$O_{X^{\mathrm{an}}}^{\times }(U):=\{\text{可逆全纯函数}U\to (C^{\times },\times )\}$ 也是 Abel 群层 (乘法层).

取指数映射$$\exp :O_{X^{\mathrm{an}}}\to O_{X^{\mathrm{an}}}^{\times }$$对于 $U\subset X$ 有$$\begin{array}{rl}{\exp }_U:O_{X^{\mathrm{an}}}(U)& \to O_{X^{\mathrm{an}}}^{\times }(U)\\ s& \mapsto e^s\end{array}$$很显然它是一个层之间的态射. 但是考虑函数 $1_X$, 它是一个可逆的全纯函数, 但是我们无法在整体上对其取对数, 因此 $1_X\notin \mathrm{im}({\exp }_X:O_{X^{\mathrm{an}}}(X)\to O_{X^{\mathrm{an}}}^{\times }(X))$, 但是取 $x\in X$ 的足够小的开邻域 $U$ 有 $1_X{\mid }_U\in \mathrm{im}({\exp }_U)$. 因此层间态射的像不能直接定义为像构成的预层.

因此, 我们需要寻求一个工具, 将预层变成层, 但最大限度上不改变预层所具有的局部性质, 特别地, 我们不希望改变茎, 只希望把预层变得可以粘接. 回忆前文所提到的一系列例子, 发现最容易的生成一个层的方法是考虑函数层, 因此, 我们对于原本预层理所有的信息进行修改, 制造出一个函数层 (当然还需要满足一些相容性公理), 这一步骤我们就叫做层化.

定义-命题 1.16. 设 $X$ 为拓扑空间, $\mathcal{F}$ 为其上的预层, 定义其层化 ${\mathcal{F}}^{+}$ 为 $X$ 上的预层, 对 $U\subset X$ 有$${\mathcal{F}}^{+}(U):=\left\{s:U\to \coprod _{x\in U}{\mathcal{F}}_x\right\}$$且 $s\in {\mathcal{F}}^{+}(U)$ 满足以下相容条件

•	任意 $x\in U$ 都有 $s(x)\in {\mathcal{F}}_x$.
•	任意 $x\in U$ 存在 $x$ 的邻域 $V\subset U$, $t\in \mathcal{F}(V)$ 使得 $\forall y\in V$ 都有 $s(y)=t_y$.7

如此定义的 ${\mathcal{F}}^{+}$ 是层且具有预层间的典范态射 $\mathcal{F}\to {\mathcal{F}}^{+}$ 此外还满足:

1.	对任意 $x\in X$ 都有 ${\mathcal{F}}_x={\mathcal{F}}_x^{+}$.
2.	若 $\mathcal{F}$ 是一个层, 则 $\mathcal{F}\stackrel{\sim }{\to }{\mathcal{F}}^{+}$.
3.	(泛性质) 对任意 $\phi :\mathcal{F}\to \mathcal{G}$ 为预层间的态射, 且 $\mathcal{G}$ 为层, 此时由交换图表

证明.

证明. ${\mathcal{F}}^{+}$ 具有显然的层结构, 并且设典范态射为 $\theta :\mathcal{F}\to {\mathcal{F}}^{+}$, 由其满足的公理容易看出典范态射诱导茎上的同构 ${\theta }_x:{\mathcal{F}}_x\stackrel{\sim }{\to }{\mathcal{F}}_x^{+}$. 对于任意 $s\in {\mathcal{F}}^{+}(U)$, 都存在 $(U_i\hookrightarrow U)$ 为开覆盖且 $t_i\in \mathcal{F}(U_i)$ 使得 $s{\mid }_{U_i}=\theta (t_i)$. 对于每个 $x\in U_i\cap U_j$, 都有$$t_{i,x}=s(x)=t_{j,x}$$令 $U_x$ 为 $x$ 在 $U_i\cap U_j$ 中的开邻域, 且使得 $t_i{\mid }_{U_x}=t_j{\mid }_{U_x}$. 则 $U_x$ 在 $x$ 取遍 $U_i\cap U_j$ 时构成了 $U_i\cap U_j$ 的一个开覆盖, 并且由预层间态射定义可知 $\phi (t_i){\mid }_{U_x}=\phi (t_j){\mid }_{U_x}$. 由于 $\mathcal{G}$ 是一个层, 因此可以粘接得到 $\phi (t_i){\mid }_{U_i\cap U_j}=\phi (t_j){\mid }_{U_i\cap U_j}$. 而 $(U_i\hookrightarrow U)$ 为 $U$ 的开覆盖, 因此就粘接得到 $\mathcal{G}(U)$ 中的截面 $\tilde{\phi }(s)$ 使得 $\tilde{\phi }(s){\mid }_{U_i}=\phi (t_i)$. 不难发现这个截面在每一点 $x\in U$ 的芽为$$\tilde{\phi }(s{)}_x={\phi }_x(s(x))$$此处 ${\phi }_x:{\mathcal{F}}_x\to {\mathcal{G}}_x$ 为 $\phi$ 所诱导的茎间的态射, 这样就得到 ${\mathcal{F}}^{+}\to \mathcal{G}$ 的态射.

$\square$

注 1.17. 取层化这一步骤实际上给出了一个由预层范畴 $\mathsf{PSh}(\mathrm{Open}(X),\mathcal{D})$ 到层范畴 $\mathsf{Sh}(\mathrm{Open}(X),\mathcal{D})$ 的函子, 它是层范畴到预层范畴的嵌入函子的左伴随, 即$$(-{)}^{+}:\mathsf{PSh}(\mathrm{Open}(X),\mathcal{D})\leftrightarrows \mathsf{Sh}(\mathrm{Open}(X),\mathcal{D}):\iota$$

例 1.18. 当取注记 1.8 所描述的预层 $\mathcal{F}$ 时, 所得到的 ${\mathcal{F}}^{+}$ 就是局部常值层.

因此, 我们可以通过层化把先前的像构成的预层变成层, 因此得到定义.

定义 1.19. 令 $\phi :\mathcal{F}\to \mathcal{G}$ 为层之间的态射. 则 $\phi$ 的像 $\mathrm{im}\phi$ 定义为预层 $(U\mapsto \mathrm{im}({\phi }_U))$ 的层化.
同理, 定义其 $\mathrm{coker}\phi$ 为预层 $(U\mapsto \mathrm{coker}({\phi }_U))$ 的层化.

由于 ${\mathcal{F}}_x^{+}={\mathcal{F}}_x$ 不难发现$$\begin{array}{rl}(\ker \phi {)}_x& \simeq \ker {\phi }_x\\ (\mathrm{im}\phi {)}_x& \simeq \mathrm{im}{\phi }_x\\ (\mathrm{coker}\phi {)}_x& \simeq \mathrm{coker}{\phi }_x\end{array}$$有了像的概念就可以定义满态射的概念, 即

定义 1.20. 设 $\mathcal{F},\mathcal{G}$ 为拓扑空间 $X$ 上的层,$\phi :\mathcal{F}\to \mathcal{G}$ 为层间的态射, 则若 $\mathrm{im}\phi \simeq \mathcal{G}$ 则称 $\phi$ 为满射.

命题 1.21. 设 $\mathcal{F},\mathcal{G}$ 为拓扑空间 $X$ 上的层,$\phi :\mathcal{F}\to \mathcal{G}$ 为层间的态射, 则以下三个条件等价

1.	$\phi$ 为单射/满射,
2.	对于每个 $x\in X$ 都有 ${\phi }_x$ 为单射/满射.

特别地, 若 $\phi$ 为单射时还等价于对于任意开子集 $U\subset X$ 都有 ${\phi }_U$ 为单射.

证明.

证明. 当 $\phi$ 为单射时, 有 $\ker \phi =0$, 因此此时 $\ker {\phi }_x=0$ 是显然的, 若有 $\ker {\phi }_x=0$ 根据注记 1.10 可知对应的层为单射.
当 $\phi$ 为满射时, 由定义可知 $\mathrm{im}\phi \simeq \mathcal{G}$, 因此 $\mathrm{im}{\phi }_x=(\mathrm{im}\phi {)}_x\simeq {\mathcal{G}}_x$ 因此可知 ${\phi }_x$ 为满射. 而后证明反向情况, 若 ${\phi }_x$ 均为满射可以得出 $(\mathrm{im}\phi {)}_x$ 为同构, 从而粘接得到对应层为满射.
接下来证明 $\phi$ 为单射当且仅当 ${\phi }_U$ 为单射, 由于 $\ker$ 定义可知 $\ker ({\phi }_U)=0$, 因此得到 ${\phi }_U$ 为单射, 另一方面, 若 ${\phi }_U$ 为单射, 由定义立知 $\phi$ 为单射.

$\square$

注 1.22. 回到前文的那个例子, 取 ${\underline{\mathbb{Z}}}_{X^{\mathrm{an}}}$ 为取值在整数的局部常值层, 则发现前文的映射其实为短正合列$$0\to {\underline{\mathbb{Z}}}_{X^{\mathrm{an}}}\stackrel{2\pi i}{\to }{O}_{X^{\mathrm{an}}}\stackrel{\exp }{\to }{O}_{X^{\mathrm{an}}}^{\times }\to 1$$的一部分. (由于 $O_{X^{\mathrm{an}}}^{\times }$ 为乘法群层, 因此后面的 $1$ 其实为乘法幺元). 但是考虑算子 $\Gamma (X,-)$ 时$$0\to \Gamma (X,{\underline{\mathbb{Z}}}_{X^{\mathrm{an}}})\to \Gamma (X,O_{X^{\mathrm{an}}})\to \Gamma (X,O_{X^{\mathrm{an}}}^{\times })\to 1$$右半部分不再正合 (原因为前文例子).

层与 Abel 范畴

此外, 我们可以探讨层范畴 $\mathsf{Sh}(\mathrm{Open}(X),\mathcal{D})$ 何时是一个 Abel 范畴. 首先我们来说明预层上的情况.

命题 1.23. 设 $\mathcal{A}$ 为 Abel 范畴. 对于任意范畴 $I$, 函子范畴 ${\mathcal{A}}^I$ 是 Abel 范畴, 特别地, 取 $I=\mathrm{Open}(X{)}^{\mathrm{op}}$ 时可知预层范畴是一个 Abel 范畴.

在证明这一点之前我们先对于函子范畴 ${\mathcal{C}}^J$ 以及函子的保返生进行一些探讨.

定义 1.24. 给定 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 和函子 $\alpha :I\to \mathcal{C}$, 考虑锥范畴的函子 $(\alpha /\Delta )\to (F\alpha /\Delta )$.

•	称 $F$ 保此 $\mathrm{colim}$, 如果 $(\alpha /\Delta )\to (F\alpha /\Delta )$ 映始对象 (若存在) 为始对象.
•	称 $F$ 返此 $\mathrm{colim}$, 如果仅 $(\alpha /\Delta )$ 的始对象 (若存在) 才能被映为 $(F\alpha /\Delta )$ 的始对象.
•	称 $F$ 生此 $\mathrm{colim}$, 如果 ∘ 若 $\mathrm{colim}F\alpha$ 存在则 $\mathrm{colim}\alpha$ 存在; ∘ $F$ 保此 $\mathrm{colim}$, 返此 $\mathrm{colim}$. 对 $\lim$ 有相应的概念, 以 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}$ 与 ${\mathcal{D}}^{\mathrm{op}}$ 代替 $\mathcal{C}$ 和 $\mathcal{D}$ 可以相互过渡.

定义 1.25. 设 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为函子, 若对任意态射 $f\in \mathrm{Mor}(\mathcal{C})$, $f$ 为同构当且仅当 $Ff$ 为同构, 则称 $F$ 是保守的.

•

设 $J$ 为集合, $J$ 份 $\mathcal{C}$ 的积 ${\mathcal{C}}^J$ 定义为: $\mathrm{Ob}({\mathcal{C}}^J)=\mathrm{Ob}(\mathcal{C}{)}^J$, $\mathrm{Mor}({\mathcal{C}}^J)=\mathrm{Mor}(\mathcal{C}{)}^J$, 对于每个 $j\in J$ 都有自明的投射函子 $p_j:{\mathcal{C}}^J\to \mathcal{C}$. 给定范畴 $I$ 和函子 $\alpha :I\to {\mathcal{C}}^J$, 若对每个 $j$ 都存在 $\mathrm{colim}(p_j\alpha )$, 则 $\mathrm{colim}\alpha$ 也存在, 其构造方式为 “逐点” 地取极限 $\mathrm{colim}\alpha =(\mathrm{colim}(p_j\alpha ){)}_{j\in J}$.

•

设 $J$ 为范畴, 对之可以考虑函子范畴 ${\mathcal{C}}^J$. 对每个 $j\in \mathrm{Ob}J$ 都有求值函子 ${\mathrm{ev}}_j:{\mathcal{C}}^J\to \mathcal{C}$, 映对象 $F$ 为 $Fj$, 映态射 $\phi =({\phi }_{j^{\prime }}{)}_{j^{\prime }\in \mathrm{Ob}J}$ 为 ${\phi }_j$. 稍后考虑形如 $\alpha :I\to {\mathcal{C}}^J$ 的函子及其 $\mathrm{colim}$; 注意到 $\alpha$ 可以视同函子 $I\times J\to \mathcal{C}$, 取值写作 $\alpha (i,j)$.

命题 1.26. 设 $J$ 与 $\mathcal{C}$ 为范畴.

1.	忘却函子 $\mathcal{F}:{\mathcal{C}}^J\to {\mathcal{C}}^{\mathrm{Ob}J}$ 生 $\mathrm{colim}$ 和 $\lim$.
2.	设 $I$ 为范畴, 而且所有始于 $I$ 的函子在 $\mathcal{C}$ 中皆有 $\mathrm{colim}$(或 $\lim$), 则所有形如 $I\to {\mathcal{C}}^J$ 的函子在 ${\mathcal{C}}^J$ 中也有 $\mathrm{colim}$(或 $\lim$).
3.	承上, 对每个 $j\in \mathrm{Ob}J$, 求值函子 ${\mathrm{ev}}_j:{\mathcal{C}}^J\to \mathcal{C}$ 保这些 $I$ 给出的 $\mathrm{colim}$(或 $\lim$); 换言之, ${\mathcal{C}}^J$ 中的极限也是逐点定义的.

证明.

证明. 考虑 $\mathrm{colim}$ 情形即可.

1.	选定 $\alpha :I\to {\mathcal{C}}^J$, 假设 $\mathrm{colim}F\alpha$ 存在, 由锥$$\left((X(j){)}_{j\in \mathrm{Ob}J},({\iota }_i=({\iota }_{i,j}{)}_{j\in \mathrm{Ob}J}{)}_{i\in \mathrm{Ob}I}\right)$$给出, 其中 ${\iota }_{i,j}:\alpha (i,j)\to X(j)$. 我们希望可以对其进行提升以得到 ${\mathcal{C}}^J$ 中的锥, 使之给出 $\mathrm{colim}\alpha$. 首先观察对所有 $j$ 都必有 $X(j)=\mathrm{colim}\alpha (-,j)$. 对于所有态射 $j\to j^{\prime }$, 极限的函子性给出唯一态射 $X(j\to j^{\prime }):X(j)\to X(j^{\prime })$ 使得下图交换依此将 $j\mapsto X(j)$ 提升为 $X:J\to \mathcal{C}$, 提升 ${\iota }_i:\alpha (i,-)\to X$ 为 ${\mathcal{C}}^J$ 的态射. 不难验证 $(X,({\iota }_i{)}_i)\in \mathrm{Ob}(\alpha /\Delta )$, 以下验证其为始对象. 由于 $\mathcal{F}$ 保守, 因此自然返 $\mathrm{colim}$. 给定 $(L,(f_i{)}_i)\in \mathrm{Ob}(\alpha /\Delta )$, 由 $\mathrm{colim}\mathcal{F}\alpha$ 的泛性质可以给出唯一的态射 $\phi =({\phi }_j{)}_j:\mathcal{F}X\to \mathcal{F}L$, 使得下图的三角部分对于所有 $(i,j)$ 交换: 若能说明方块对所有 $j\to j^{\prime }$ 都交换, 则 $\phi$ 升级为 $L\to X$. 外框的交换性是已知的, 从而$${\phi }_{j^{\prime }}X(j\to j^{\prime }){\iota }_{i,j}=L(j\to j^{\prime })f_{i,j}=L(j\to j^{\prime }){\phi }_j{\iota }_{i,j}$$对所有 $i$ 都成立; 始自 $X(j)$ 的态射由它和所有的 ${\iota }_{i,j}$ 的合成所确定, 故方块交换.
2.	考虑函子 $\alpha :I\to {\mathcal{C}}^J$ 可知 $\mathcal{F}\alpha :I\to {\mathcal{C}}^{\mathrm{Ob}J}$ 具有 $\mathrm{colim}$, 它是逐点定义的. 而后用 1. 即可.
3.	由构造直接推知.

$\square$

命题1.23的证明.

命题 1.23 的证明. 逐点构造出 ${\mathcal{A}}^I$ 的有限积/余积, 核/余核. 态射的像/余像即可; 由于 $\mathcal{A}$ 为 Abel 范畴, 因此典范态射 $\mathrm{coim}\to \mathrm{im}$ 是严格态射.

$\square$

可以得知取值在 Abel 范畴 $\mathcal{A}$ 的层范畴 $\mathsf{Sh}(\mathrm{Open}(X),\mathcal{A})$ 是 Abel 范畴, 但它并不是 $\mathsf{PSh}(\mathrm{Open}(X),\mathcal{A})$ 的 Abel 子范畴. 在后文我们将给出在景上的证明.
现在我们可以定义出层的同构

定义 1.27. 设 $\mathcal{F},\mathcal{G}\in \mathsf{Sh}(\mathrm{Open}(X),\mathcal{A})$ 其中 $\mathcal{A}$ 为 Abel 范畴, 且 $f:\mathcal{F}\to \mathcal{G}$ 为层间的态射, 则若 $f$ 即单又满, 则 $f$ 为同构.

前推层与拉回层

接下来说明两个关于层的操作, 分别称为前推层和拉回层, 它可以帮助我们去变换不同的拓扑空间.
现在考虑 $f:X\to Y$ 为拓扑空间之间的连续映射, 我们想定义出两种操作, 一种是把 $X$ 上的层推到 $Y$ 上, 而另一种是把 $Y$ 上的层拉回到 $X$ 上, 这样才方便我们比较不同拓扑空间上的层.

定义 1.28 (前推预层). 设 $X,Y$ 为拓扑空间,$\mathcal{D}$ 为完备且余完备的范畴, $\mathcal{F}\in \mathsf{PSh}(\mathrm{Open}(X),\mathcal{D})$ 为 $\mathcal{D}$-值预层, $f:X\to Y$ 为连续映射, 可以得到其对应的连续函子 $\mathrm{Open}(Y)\to \mathrm{Open}(X)$, 它把 $U\in \mathrm{Open}(Y)$ 映为 $f^{-1}(U)\in \mathrm{Open}(X)$, 此处将连续函子视同函子 $K:\mathrm{Open}(Y{)}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Open}(X{)}^{\mathrm{op}}$. 称 $K^{\ast }:\mathsf{PSh}(\mathrm{Open}(X),\mathcal{D})\to \mathsf{PSh}(\mathrm{Open}(Y),\mathcal{D})$ 为 $\mathcal{D}$-值预层范畴的前推函子它将预层 $\mathcal{F}\in \mathsf{PSh}(\mathrm{Open}(X),\mathcal{D})$ 映为 $Y$ 上的预层$$K^{\ast }\mathcal{F}:V\mapsto \mathcal{F}(f^{-1}V)$$此时 $K^{\ast }\mathcal{F}$ 一般记为 $f_{\ast }\mathcal{F}$ 称为 $\mathcal{F}$ 关于 $f$ 的前推预层.

不难发现前推预层的定义可以毫无困难地延拓到层的情况上, 此时称为前推层. 既然有前推, 我们还希望定义一个拉回的操作, 定义它的方式是 Kan 扩张 (但是显然 Kan 延拓这个名字更为贴切, 本文使用 Kan 延拓这一术语), 首先我们在预层上定义它.

定义 1.29 (拉回预层). 设 $X,Y$ 为拓扑空间,$\mathcal{D}$ 为完备且余完备的范畴, $f:X\to Y$ 为连续映射, 可以得到函子 $K:\mathrm{Open}(Y{)}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Open}(X{)}^{\mathrm{op}}$. 设 $\mathcal{G}\in \mathsf{PSh}(\mathrm{Open}(Y),\mathcal{D})$ 为 $Y$ 上的 $\mathcal{D}$-值预层, 而后考虑 $\mathcal{G}$ 沿 $K$ 的左 Kan 延拓, 以 2-胞腔图解为称 ${\mathrm{Lan}}_K\mathcal{G}$ 为 $\mathcal{G}$ 沿 $f$ 的拉回预层, 在代数几何语境下称为逆像, 简记为 $f^{-1}\mathcal{G}$⁸, 在非代数几何的语境下记为 $f^{\ast }\mathcal{G}$. 具体写出即为$$f^{-1}\mathcal{G}:U\mapsto \underset{V\in \mathrm{Open}(Y),U\hookrightarrow f^{-1}V}{\mathrm{colim}}\mathcal{G}(V)$$这是因为$$U\hookrightarrow f^{-1}V\stackrel{\text{对应}}{\leftrightarrow }\mathrm{Open}(X{)}^{\mathrm{op}}\text{的态射}K(V)\to U.$$

在上文中取 $\mathcal{G}\in \mathsf{Sh}(\mathrm{Open}(Y),\mathcal{D})$, 再对 $f^{-1}\mathcal{G}$ 进行层化得到的层称为 $\mathcal{G}$ 对 $f$ 的拉回层.

命题 1.30. 前推层为拉回层的右伴随, 即$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Sh}(\mathrm{Open}(X),\mathcal{D})}(f^{-1}\mathcal{G},\mathcal{F})\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Sh}(\mathrm{Open}(Y),\mathcal{D})}(\mathcal{G},f_{\ast }\mathcal{F})$$

证明. 由 Kan 扩张即知预层上的伴随关系, 同理即可得到层上的情况.

$\square$

由于 $\mathrm{Ab}$ 为完备且余完备范畴, 因此取 $\mathcal{D}=\mathrm{Ab}$ 即可得到 Abel 群层上的情况, 接下来我们所讨论的主题仍然是 Abel 群层的情况.

注 1.31.

•	一般情况下 $(f_{\ast }\mathcal{F}{)}_{f(x)}\ne {\mathcal{F}}_x$, 比如说考虑 $f$ 为常值映射时不成立. 但是存在典范同态 $(f_{\ast }\mathcal{F}{)}_{f(x)}\to {\mathcal{F}}_x$, 对于 $f(x)\in V$,$s\in \mathcal{F}(f^{-1}(V))$ 有 $x\in f^{-1}(V)$, 因此可取 $s_x\in {\mathcal{F}}_x$, 只需要验证这些操作不依赖于芽的选取即可, 这是简单的.
•	拉回层中层化一步骤是必要的, 比如说取 $f(x)=y$ 为常值映射, 任取非空开集 $U$ 得到 $f^{-1}\mathcal{G}(U)=\underset{y\in V}{\mathrm{colim}}(\mathcal{G}(V))$, 于是得到常值预层, 需要进行层化.
•	$(f^{-1}\mathcal{G}{)}_x={\mathcal{G}}_{f(x)}$.
•	若 $\iota :Z\to X$ 为子空间的嵌入映射, $\mathcal{F}$ 为 $X$ 上的层, 可以定义 $\mathcal{F}{\mid }_Z:={\iota }^{-1}\mathcal{F}$. 这是限制在开集上的推广.

2景与层, 意象

注 2.1. 本节内容实与正文无关, 只作为一种推广, 如果我后面想在代数几何里将平展上同调时再回头来写. 出于顺序限制, 本节其实无法给出很多例子, 或者我们可以做一个妥协, 先将部分景先写出, 读者可以暂时略过这些内容.

景

此处略微陈述梗概, 具体内容可见平展笔记.
首先, 我们发现拓扑空间 $X$ 上的 $\mathcal{D}$-值预层不过是范畴 $\mathrm{Open}(X)$ 到 $\mathcal{D}$ 的反变函子, 其预层范畴也不过是函子范畴 $\mathrm{Fun}(\mathrm{Open}(X{)}^{\mathrm{op}},\mathcal{D})$, 我们可以很自然地将这个定义推广到一般的范畴上, 因为预层本身只是一个反变函子.

定义 2.2 (范畴上的预层). 设 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ 为范畴, 则 $\mathcal{C}$ 上取值于 $\mathcal{D}$ 的预层就是一个函子$$\mathcal{F}:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{D}$$也即 $\mathcal{C}$ 到 $\mathcal{D}$ 的一个反变函子. $\mathcal{D}$-值预层所构成的范畴记为 $\mathsf{PSh}(\mathcal{C},\mathcal{D})$, 特别地, 当 $\mathcal{D}$ 取集合范畴 $\mathrm{Set}$ 时, 所得到的预层范畴简记为 ${\mathcal{C}}^{\wedge }$.

但是拓扑空间上的层的定义 (定义 1.6) 有赖于拓扑空间中的信息, 接下来我们观察它具体依赖于哪些拓扑空间中的信息, 而后将其推广到一般的范畴上.
不难发现, 拓扑空间上的层的定义只依赖于等子图表$$\mathcal{F}(U)\to \prod _{i\in I}\mathcal{F}(U_i)\rightrightarrows \prod _{j,k\in I}\mathcal{F}(U_j\cap U_k)$$也就是说它只于覆盖有关, 在推广层的定义时我们应当把覆盖的定义一同进行推广. 首先对于覆盖进行一些观察, 设 $U\subset X$ 为开集,$(U_i\to U)$ 为 $U$ 的任意一族覆盖, 则

自身作为覆盖	$U$ 自己就是 $U$ 的覆盖.
覆盖可以进行加细	取定覆盖 $(U_i\to U)$ 并且对每个 $i$ 都有 $(U_{ij}\to U_i)$ 为 $U_i$ 的覆盖, 则 $(U_{ij}\to U{)}_{ij}$ 为 $U$ 的覆盖.
原像作为覆盖	取定拓扑空间 $W$ 以及连续映射 $f:W\to U$, 则 $(f^{-1}(U_i)\to W)$ 构成 $W$ 的覆盖.

而在范畴 $\mathcal{C}$ 中, 一个覆盖就是一族态射 $\{U_i\to U{\}}_{i\in I}$(不强制要求为单), 利用范畴论的哲学原理, 我们利用同构来代替严格等式, 即同构可以作为覆盖, 并且利用态射复合来描述加细, 即覆盖的复合可以作为覆盖, 这样我们只剩下处理原像作为覆盖一条. 但是回忆到在同调代数中对于子对象的原像具有如下定义

定义 2.3 (子对象的像和原像). 设 $\mathcal{C}$ 为使得所论拉回与像皆存在的范畴, $f:X\to Y$ 为态射, 有子对象 $X^{\prime }\hookrightarrow X,Y^{\prime }\hookrightarrow Y$, 记$$f^{-1}(Y^{\prime }):=X\underset{Y}{\times }{Y}^{\prime },f(X^{\prime }):=\mathrm{im}\left[X^{\prime }\hookrightarrow X\stackrel{f}{\to }Y\right]$$它们分别是 $X$ 和 $Y$ 的子对象. 这给出双向保序映射 ${\mathrm{Sub}}_X\underset{f(-)}{\stackrel{f^{-1}(-)}{\leftrightarrows }}{\mathrm{Sub}}_Y$, 其中 $({\mathrm{Sub}}_X,\subset )$ 为子对象.

当我们将一族态射 $\{U_i\to U{\}}_{i\in I}$ 视为覆盖时, 每个 $U_i$ 都可以通过 $U_i\to U$ 视为 $U$ 的子对象, 因此可以顺理成章的将原像的定义推广至指定了覆盖的一般范畴上. 这一推广我们称为景.

定义 2.4. 景是二元组 $(\mathcal{C},\mathrm{Cov}(\mathcal{C}))$, 其中 $\mathcal{C}$ 是范畴, $\mathrm{Cov}(\mathcal{C})$ 是由形如下式的元素构成的类: $$\{U_i\to U{\}}_{i\in I},U_i,U\in \mathrm{Ob}\mathcal{C},$$其中 $I$ 是集合, $U_i$, $U$ 是 $\mathcal{C}中对象$. 满足下述条件:

•	对同构 $V\to U$, $\{V\to U\}\in \mathrm{Cov}(\mathcal{C})$.

•	如果 $\{U_i\to U{\}}_{i\in I}\in \mathrm{Cov}(\mathcal{C})$, 且对每个 $i\in I$, 有 $\{U_{ij}\to U_i{\}}_{j\in I_i}\in \mathrm{Cov}(\mathcal{C})$, 那么 $\{U_{ij}\to U{\}}_{i\in I,j\in I_i}\in \mathrm{Cov}(\mathcal{C})$.

•	对 $\{U_i\to U{\}}_{i\in I}\in \mathrm{Cov}(\mathcal{C})$ 以及任意映射 $V\to U$, 有纤维积 $U_i{\times }_{U}V$ 存在, 且 $\{U_i{\times }_{U}V\to V{\}}_{i\in I}\in \mathrm{Cov}(\mathcal{C})$.

在不引起歧义的情况下, 将此二元组简记为 $\mathcal{C}$.

注 2.5. 由以上讨论, 我们将 $\mathcal{C}$ 中对象称为开集, $\mathrm{Cov}(\mathcal{C})$ 中元素称为覆盖.

这样我们就将拓扑空间推广到了具有足够的极限 (即定义中极限均存在) 的范畴上 (但这只是基于层论的推广, 而且并没有到达尽头, 我们还可以再做一次推广, 即为意象).
但是这个定义还不够广, 对于不存在足够极限的范畴我们不能谈论景这一概念, 这个时候就需要引入筛来代替纤维积作为原像.(以后再写!) 在给出覆盖筛定义后, 可以给出局部满以及局部同构概念.

定义 2.6 (局部满/单/同构态射). 设 $\mathcal{C}$ 为景

1.	${\mathcal{C}}^{\wedge }$ 的态射 $A\to U$ 若具有如下定义的 $U$ 上的筛 $S_A$ $$(V\to U)\in S_A\iff (V\to U)\text{可分解为}V\to A\to U$$为覆盖筛, 则称这个态射是局部满的.
2.	${\mathcal{C}}^{\wedge }$ 的态射 $A\to B$ 若对于任意 $V\in \mathcal{C}$ 以及任意态射 $V\to B$, 有 $A\underset{B}{\times }V\to V$ 为局部满的则称 $A\to B$ 局部满态射.
3.	若 $A\to A\underset{B}{\times }A$ 是局部满的, 则称 $u:A\to B$ 为局部单的.
4.	若 $u:A\to B$ 局部单且局部满则称 $u$ 是局部同构.

景上的层

意象

代数结构层

定义 2.7 (代数结构). 一类代数结构指的是二元组 $(\mathcal{C},F)$ 其中 $\mathcal{C}$ 为范畴而 $\mathcal{F}:\mathcal{C}\to \mathrm{Set}$ 为函子并且具有以下性质

1.	$F$ 是忠实的.
2.	$\mathcal{C}$ 具有极限且 $F$ 与极限交换.
3.	$\mathcal{C}$ 具有滤过余极限且 $F$ 与其交换.
4.	$F$ 是保守的.

接下来令 $(\mathcal{A},s)$ 为一类代数结构. 令 $\mathcal{C}$ 为景并且分别将 $\mathcal{A}$-值预层与 $\mathcal{A}$-值层记为 $\mathsf{PSh}(\mathcal{C},\mathcal{A})$ 以及 $\mathsf{Sh}(\mathcal{C},\mathcal{A})$.

($\alpha$)	$\mathcal{A}$-值预层是层当且仅当其对应的集合预层是集合层.
($\beta$)	给定 $\mathcal{A}$-值预层 $\mathcal{F}$, 有 ${\mathcal{F}}^{♯}:=({\mathcal{F}}^{+}{)}^{+}$ 是层, 这由层化定义, $s$ 与滤过余极限交换以及 ($\alpha$) 所保证.
($\gamma$)	具有以下交换图表
($\delta$)	若 $\mathcal{F}$ 是一个代数结构层, 则 $\mathcal{F}={\mathcal{F}}^{♯}$.
($\epsilon$)	有伴随对 $(-{)}^{♯}:\mathsf{PSh}(\mathcal{C},\mathcal{A})\leftrightarrows \mathsf{Sh}(\mathcal{C},\mathcal{A}):\iota$.
($\zeta$)	层化函子是左正合的 (由其构造可知).

定义 2.8 (Abel 层). 取 $\mathcal{C}$ 为景, $\mathcal{A}=\mathrm{Ab}$, 则 $\mathcal{C}$ 上的 Abel(预) 层为四元组 $(\mathcal{F},+,0,i)$. 为以下数据

(D1)	$\mathcal{F}$ 是集合层.
(D2)	$+:\mathcal{F}\times \mathcal{F}\to \mathcal{F}$ 为集合层间的态射.
(D3)	$0:\ast \to \mathcal{F}$ 为从单点层到 $\mathcal{F}$ 的态射, 且
(D4)	$i:\mathcal{F}\to \mathcal{F}$ 为集合层之间的态射.

这些数据需要满足以下公理

(A1)	$+$ 满足结合以及交换律,
(A2)	$0$ 作为 $+$ 的幺元,
(A3)	$+\circ (1,i)=0\circ (\mathcal{F}\to \ast )$

二谈层与 Abel 范畴

本节回答 层与 Abel 范畴 一节中最后的内容, 核心就是以下定理.

定理 2.9. 设 $\mathcal{C}$ 为景,$\mathcal{D}$ 为满足以下条件的范畴,

•	$\mathcal{D}$ 具有小极限以及小余极限.
•	小滤过余极限是正合的.
•	$\mathcal{D}$ 具有 IPC-性质.

则

1.	取值于 $\mathcal{D}$ 的范畴 $\mathsf{Sh}(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 具有小极限, 并且嵌入函子 $\iota :\mathsf{Sh}(\mathcal{C},\mathcal{D})\to \mathsf{PSh}(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 与这样的极限交换.
2.	范畴 $\mathsf{Sh}(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 具有小余极限并且层化函子 $(-{)}^{♯}:\mathsf{PSh}(\mathcal{C},\mathcal{D})\to \mathsf{Sh}(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 与这样的极限交换. 此外, $\mathsf{Sh}(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 中的正向系统 $\{{\mathcal{F}}_i{\}}_{i\in I}$ 的余极限是其在 $\mathsf{PSh}(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 中对应余极限的层化.
3.	$\mathsf{Sh}(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 中滤过归纳极限是正合的.
4.	若 $\mathcal{D}$ 中态射均严格, 则 $\mathsf{Sh}(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 中态射也严格, 特别地, 若 $\mathcal{D}$ 为 Abel 范畴, 则 $\mathsf{Sh}(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 也是 Abel 范畴.

首先我们需要说明何谓 IPC-性质.

定义 2.10 (IPC-性质). 设 $\mathcal{D}$ 为范畴, 若其满足以下条件

•	它具有小积以及滤过余极限.
•	对于 ∘ 一族小滤过范畴 $\{I_s{\}}_{s\in S}$. ∘ 任意一族函子 $\{{\alpha }_s:I_s\to \mathcal{D}\}$. ∘ 由小集合 $S$ 作为编号. 都有典范态射$$\mathrm{colim}\left(\prod _s{I}_s\stackrel{k\mapsto {\prod }_s{\alpha }_s(p_s(j))}{\to }\mathcal{D}\right)\to \prod _s\mathrm{colim}{\alpha }_s$$为同构, 其中 $p_s:{\prod }_s{I}_s\to I_s$ 为投影函子.

定理2.9的证明.

定理 2.9 的证明.

1.	只需要说明对于 $\mathsf{Sh}(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 中的小逆向系统 $\{{\mathcal{F}}_i{\}}_{i\in I}$ 都有其在 $\mathsf{PSh}(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 中的极限 $\underset{i\in I}{\lim }{\mathcal{F}}_i$ 是一个层. 对于 $A\in {\mathcal{C}}^{\wedge }$ 都有 $(\underset{i\in I}{\mathrm{colim}}{\mathcal{F}}_i)(A)\simeq \underset{i\in I}{\mathrm{colim}}({\mathcal{F}}_i(A))$. 令 $B\to A$ 为局部同构. 则由于 ${\mathcal{F}}_i$ 为层, 有一族态射$${\mathcal{F}}_i(A)\stackrel{\sim }{\to }{\mathcal{F}}_i(B)$$因此 $\underset{i\in I}{\lim }{\mathcal{F}}_i(A)\simeq \underset{i\in I}{\lim }{\mathcal{F}}_i(B)$ 于是 $\underset{i\in I}{\lim }{\mathcal{F}}_i$ 是层.
2.	由于层化函子 $(-{)}^{♯}:\mathsf{PSh}(\mathcal{C},\mathcal{D})\to \mathsf{Sh}(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 具有右伴随, 因此由伴随函子定理可知它与小余极限交换.
3.	由于 $\mathsf{PSh}(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 中滤过余极限是正合的, 并且层化函子正合, 因此滤过归纳极限在 $\mathsf{Sh}(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 中是正合的.
4.	令 $u:\mathcal{F}\to \mathcal{G}$ 为 $\mathsf{Sh}(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 中的态射. 接下来证明它是严格的. 为此, 定义 $(\mathrm{im}u{)}^{\mathrm{pre}}$ 与 $(\mathrm{coim}u{)}^{\mathrm{pre}}$ 为如下定义的两个预层 (即为 $u$ 在预层范畴中的像与余像) $$\begin{array}{rlr}(\mathrm{im}u{)}^{\mathrm{pre}}(U)& =& \mathrm{im}(\mathcal{F}(U)\to \mathcal{G}(U))=\ker \left(\mathcal{G}(U)\rightrightarrows \mathcal{G}(U)\bigsqcup _{\mathcal{F}(U)}\mathcal{G}(U)\right)\\ (\mathrm{coim}u{)}^{\mathrm{pre}}(U)& =& \mathrm{coim}(\mathcal{F}(U)\to \mathcal{G}(U))=\mathrm{coker}\left(\mathcal{F}(U)\underset{\mathcal{G}(U)}{\times }\mathcal{F}(U)\rightrightarrows \mathcal{F}(U)\right)\end{array}$$由命题 1.23 中严格态射部分可知 $(\mathrm{im}u{)}^{\mathrm{pre}}\simeq (\mathrm{coim}u{)}^{\mathrm{pre}}$ 而后只需要证明$$\begin{array}{rl}{\left((\mathrm{im}u{)}^{\mathrm{pre}}\right)}^{♯}& \simeq \mathrm{im}(\mathcal{F}\to \mathcal{G})=\ker \left(\mathcal{G}\rightrightarrows \mathcal{G}\bigsqcup _{\mathcal{F}}\mathcal{G}\right)\in \mathsf{Sh}(\mathcal{C},\mathcal{D})\\ {\left((\mathrm{coim}u{)}^{\mathrm{pre}}\right)}^{♯}& \simeq \mathrm{coim}(\mathcal{F}\to \mathcal{G})=\mathrm{coker}\left(\mathcal{F}\underset{\mathcal{G}}{\times }\mathcal{F}\rightrightarrows \mathcal{F}\right)\in \mathsf{Sh}(\mathcal{C},\mathcal{D})\end{array}$$由前三点可知成立.

$\square$

脚注

1.	^ 另一条路径自然是拓扑代数理论.
2.	^ 我们将会使用更为抽象的语言去描述它以便于读者观察我们该如何对其进行推广.
3.	^ 其实这是平展上同调的主线.
4.	^ 抄的预层的代码.
5.	^ 一个方向是显然的, 另一个方向利用层公理粘接即可.
6.	^ 你猜我为什么写一半换节.
7.	^ 我们希望我们定义的函数在很小很小的局部是由原来的预层所给出的.
8.	^ 在模层情况下拉回为 $f^{\ast }\mathcal{G}$, 为避免冲突使用 $f^{-1}\mathcal{G}$