同构

同构是集合之间双射的概念的推广. 对两个数学对象而言, 它们之间的同构定义为它们之间的可逆态射. 如果这样的映射存在, 就说这两个对象是同构的.

两个同构的数学对象常常被视为相同的对象, 因为它们具有相同的性质. 这一原理称为等价原理.

然而, 在两个同构的对象之间, 可能有不止一个同构. 事实上, 一个对象与自身的同构就可能有很多个, 它们构成一个群, 称为该对象的自同构群. 因此, 具体选取哪个同构往往是需要指明的.

1定义

定义 1.1 (同构). 同构是指范畴中的可逆态射.

具体地说, 设 $\mathcal{C}$ 是范畴, 设 $x,y\in \mathcal{C}$. 则 $x,y$ 之间的同构是指态射 $f\in \mathcal{C}(x,y)$, 使得存在态射 $g,h\in \mathcal{C}(y,x)$, 满足$$g\circ f=1_x,f\circ h=1_y.$$如果这样的态射存在, 就说 $x$ 与 $y$ 是同构的.

注 1.2. 显然此时$$g=g\circ f\circ h=h.$$(1)所以定义 1.1 可以陈述为 “存在态射 $g\in \mathcal{C}(y,x)$ 满足 $g\circ f=1_x$, $f\circ g=1_y$.” 但定义 1.1 的说法在高阶范畴论中更正确, 因为我们不希望 $g$ 和 $h$ 以异于 (1) 的另一种方式等同.

2例子

在某些特定的范畴中, 有一些专门的术语来表示同构.

•	集合的同构称为双射.

•	拓扑空间的同构称为同胚.

•	光滑流形的同构称为微分同胚.

•	度量空间或 Riemann 流形的同构称为等距同构.

•	函子的同构称为自然同构.

3性质

命题 3.1. 在给定的范畴中, 所有同构构成的态射族满足三选二和六选二性质.

$\square$

4相关概念

术语翻译

同构 (名词) • 英文 isomorphism • 德文 Isomorphismus (m) • 法文 isomorphisme (m) • 拉丁文 isomorphismus (m) • 古希腊文 ἰσομορφισμός (m)

同构 (形容词) • 英文 isomorphic • 德文 isomorph • 法文 isomorphe • 拉丁文 isomorphus • 古希腊文 ἰσόμορφος