前推层

关于其导出函子, 请参见 “导出前推层”.

前推层是层论中的一种构造. 对拓扑空间的连续映射 $f:X\to Y$, 以及 $X$ 上的层 $\mathcal{F}$, 能得到 $Y$ 上的层 $f_{\ast }(\mathcal{F})$, 即 $\mathcal{F}$ 沿 $f$ 的前推层. 该层在开集 $U\subseteq Y$ 上的截面就定义为 $\mathcal{F}$ 在 $f^{-1}(U)\subseteq X$ 上的截面.

例如, 当 $Y$ 为单点空间时, 沿映射 $X\to \ast$ 的前推层也就是取原来层的整体截面. 因此, 一般来说, 前推层也可以视为整体截面函子的相对版本. 也就是说, 对 $y\in Y$, 考虑纤维 $X_y=f^{-1}(y)$, 并将 $X$ 视为这些 $X_y$ 拼起来的空间, 则非常粗略地说, 前推层可以视为在每个 $X_y$ 上取 $\mathcal{F}$ 的整体截面空间 $H^0(X_y,\mathcal{F}{|}_{X_y})$, 再将这些空间拼成 $Y$ 上的层. 相应地, 导出前推层则是 “导出整体截面” (即层上同调) 的相对版本.

前推层函子是拉回层函子的右伴随, 也是六函子理论的一部分.

1定义

对普通层

定义 1.1. 设 $X,Y$ 是拓扑空间, $f:X\to Y$ 是连续映射. 设 $\mathcal{C}$ 是余完备范畴, $\mathcal{F}$ 是 $X$ 上取值于 $\mathcal{C}$ 的层. 则 $\mathcal{F}$ 沿 $f$ 的前推层是 $Y$ 上取值于 $\mathcal{C}$ 的层 $f_{\ast }(\mathcal{F})$, 定义为$$f_{\ast }(\mathcal{F})(U)=\mathcal{F}(f^{-1}(U)),$$其中 $U\subseteq Y$ 为任何开集.

这一概念也可以推广到景上.

定义 1.2. 设 $\mathcal{X},\mathcal{Y}$ 是景, $f:\mathcal{X}\to \mathcal{Y}$ 是由连续函子 $u:\mathcal{Y}\to \mathcal{X}$ 决定的景的态射. 设 $\mathcal{C}$ 是余完备范畴, $\mathcal{F}$ 是 $\mathcal{X}$ 上取值于 $\mathcal{C}$ 的层. 则 $\mathcal{F}$ 沿 $f$ 的前推层是 $\mathcal{Y}$ 上取值于 $\mathcal{C}$ 的层 $f_{\ast }(\mathcal{F})$, 定义为$$f_{\ast }(\mathcal{F})(U)=\mathcal{F}(u(U)).$$

前推层也是意象间态射定义的一部分, 这是上述定义的推广: 并非所有意象间态射都来自景间的连续函子.

对模层

定义 1.3. 设 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 与 $(Y,{\mathcal{O}}_Y)$ 是环化空间, $f:X\to Y$ 是连续映射, $\mathcal{F}$ 是 ${\mathcal{O}}_X$-模层. 则前推层 $f_{\ast }(\mathcal{F})$ 自然地具有 ${\mathcal{O}}_Y$-模层的结构, 称为模层 $\mathcal{F}$ 沿 $f$ 的前推层.

2性质

记号承上.

命题 2.1. $f_{\ast }$ 有左伴随, 为拉回层函子 $f^{-1}$.

推论 2.2. 由于 $f^{-1}$ 正合, $f_{\ast }$ 保持内射对象.

命题 2.3 (前推层的茎). 设 $f:X\to Y$ 是拓扑空间的连续映射. 则有自然态射 $(f_{\ast }\mathcal{F}{)}_{f(x)}\to {\mathcal{F}}_x$, 且满足:

1.	如果 $y\notin \overline{f(X)}$, 则 $(f_{\ast }\mathcal{F}{)}_y=0$.
2.	如果 $f$ 是拓扑嵌入, 则 $(f_{\ast }\mathcal{F}{)}_{f(x)}={\mathcal{F}}_x$, 对任意 $x\in X$.

3例子

•	如 $f:X\to \ast$ 是到单点空间的映射, 则 $f_{\ast }$ 是整体截面函子 $\Gamma (X,-)$.

4相关概念

术语翻译

前推层 • 英文 direct image sheaf • 德文 Bildgarbe (f) • 法文 faisceau image directe (m)