算术 ζ 函数

算术 $\mathbf{\zeta }$ 函数是对 $\mathbb{Z}$ 上有限型概形定义的 $\mathbb{C}$ 上解析函数, 记录概形的算术信息. 它是 Dedekind $\zeta$ 函数与 Weil $\zeta$ 函数的共同推广. Riemann 猜想、类数公式等亦可推广到上面, 但我们对此尚知之甚少.

1定义

定义 1.1. 对 $\mathbb{Z}$ 上有限型概形 $X$, 其算术 $\mathbf{\zeta }$ 函数定义为$${\zeta }_X(s)=\prod _{x\in |X|}\frac{1}{1-N(x{)}^{-s}},$$其中 $|X|$ 表示 $X$ 的闭点集, $N(x)$ 表示闭点 $x$ 的剩余域元素个数. 由 Jacobson 环的理论, 此剩余域一定是有限域.

由 Noether 正规化之类的定理不难发现, ${\zeta }_X(s)$ 在 $\Re (s)>n$ 上绝对收敛, 其中 $n=\dim X$.

2性质

乘性

由 ${\zeta }_X$ 的定义可立即看出, 如 $Z\subseteq X$ 是闭子概形, $U=X\setminus Z$, 则$${\zeta }_X={\zeta }_Z{\zeta }_U.$$除此之外, 如 $X\to Y$ 是 $\mathbb{Z}$ 上有限型概形之间的态射, 则由 Jacobson 性有$${\zeta }_X=\prod _{y\in |Y|}{\zeta }_{X_y},$$其中 $|Y|$ 表示 $Y$ 的闭点集, $X_y$ 指 $y$ 的原像, 它是 $X$ 的闭子概形, 自然也是 $\mathbb{Z}$ 上有限型.

Hasse–Weil 猜想

Hasse 和 Weil 猜想, ${\zeta }_X$ 可延拓为整个 $\mathbb{C}$ 上的亚纯函数, 且关于 $s\mapsto n-s$ 有某种函数方程. 这对 Dedekind $\zeta$ 函数与 Weil $\zeta$ 函数都早已被证明, 但一般情形仍不得而知.

Riemann 猜想

算术 $\zeta$ 函数的 Riemann 猜想声称 ${\zeta }_X(s)$ 的非平凡零点实部都是 $[0,n]$ 内的半整数, 极点实部都是 $[0,n]$ 内的整数. 它是 Dedekind $\zeta$ 函数与 Weil $\zeta$ 函数的 Riemann 猜想的共同推广. 在 ${\zeta }_X$ 中乘上适当的无穷位点信息, “非平凡” 这一定语理应可以去掉.

Weil 猜想早已完整解决, 即对 ${\mathbb{F}}_p$ 上的 $X$ 这已经成为定理; 但对不在 ${\mathbb{F}}_p$ 上的 $X$, 即便是最简单的 $X=\mathrm{Spec}\mathbb{Z}$ 情形, 这也是尚未解决的 Riemann 猜想.

极点信息

记 $n=\dim X$.

命题 2.1 (Serre). ${\zeta }_X$ 在 $n$ 处具有极点, 阶数等于 $X$ 的 $n$ 维不可约分支的个数.

(一些猜想, Tate, Beilinson, Soulé, …)

3例子

例 3.1. 对仿射空间及射影空间, $$\begin{gathered} {\zeta }_{{\mathbb{A}}_X^m}(s)={\zeta }_X(s-m). \\ {\zeta }_{{\mathbb{P}}_X^m}(s)=\prod _{k=0}^m{\zeta }_X(s-k). \end{gathered}$$

例 3.2. 对数域 $K$, 记其整数环为 ${\mathcal{O}}_K$, 则依定义$${\zeta }_{\mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_K}(s)={\zeta }_K(s)$$为 Dedekind $\zeta$ 函数.

例 3.3. 如 $X$ 是 ${\mathbb{F}}_p$ 上概形, 则 ${\zeta }_X$ 就是 Weil $\zeta$ 函数.

4相关概念

•	Riemann $\zeta$ 函数
•	Dedekind $\zeta$ 函数
•	Weil $\zeta$ 函数
•	Riemann 猜想
•	Weil 猜想
•	标准猜想