不可约概形

在代数几何中, 不可约概形是一类概形. 大致说, 这类概形仅由一个 “部分” 组成. 例如, 下图中, 左边的概形有两个 “部分”, 即直线 $x=0$ 与 $y=0$. 因此, 虽然该概形是连通的, 但它不是不可约的. 而右边的概形是不可约的, 因为它只有一个 “部分”.

上面所说的 “部分” 称为不可约分支, 也就是概形中极大的不可约闭子概形.

1定义

定义 1.1 (不可约空间). 拓扑空间 $X$ 称为不可约的, 如果

•

$X$ 非空.

•	如果 $X=X_1\cup X_2$, 其中 $X_1,X_2$ 是 $X$ 的闭子集, 那么 $X_1=X$ 或 $X_2=X$.

注 1.2. 由于平凡对象不是单对象, 空集不算做不可约空间.

定义 1.3 (不可约概形). 概形 $X$ 称为不可约的, 如果 $X$ 的底空间是不可约空间 (定义 1.1).

2性质

注意到不可约性仅与底空间有关而与结构层无关, 有:

引理 2.1 (局部性质).

•	不可约概形的每个开子概形都是不可约的.

•	如连通概形存在一组开覆盖, 使得其中每个开集均不可约, 则它是不可约概形.

定义 2.2 (不可约分支). 对任何概形, 称其极大的不可约子集为该概形的不可约分支. 易见不可约分支是闭的.

由于不可约子集的升链之并依然不可约, 利用 Zorn 引理易知

命题 2.3. 概形中的任何点均含于某个不可约分支中.

术语翻译

不可约概形 • 英文 irreducible scheme • 德文 irreduzibles Schema • 法文 schéma irréductible