Noether 正规化

Noether 正规化是个交换代数定理, 说的是域上的有限生成代数都是多项式环的有限扩张. 几何地看, 这就是说仿射代数簇都能有限满射到仿射空间.

1定理与证明

定理 1.1. 设 $k$ 是域, $A$ 是其上有限生成代数. 则存在 $d\in \mathbb{N}$ 以及环的有限单射 $k[X_1,\dots ,X_d]\to A$. 也将这样的映射称为 $A$ 的 Noether 正规化.

证明. 取 $A$ 的生成元 $y_1,\dots ,y_n$, 写 $A=k[Y_1,\dots ,Y_n]/I$, $Y_i\mapsto y_i$. 对 $n$ 归纳. $I=0$ 时为显然, 故可设 $I\ne 0$. 以下先证明存在 $z_1,\dots ,z_{n-1}\in k[Y_1,\dots ,Y_n]$, 使得 $A$ 在 $k[z_1,\dots ,z_{n-1}]$ 上有限.

取非零元 $f\in I$. 取 $N\in \mathbb{N}$ 使得 $f$ 对各变元的次数都小于 $N$. 令 $z_i=Y_i-Y_n^{N^{n-i}}$, 则 $k[Y_1,\dots ,Y_n]$ 也是关于 $z_1,\dots ,z_{n-1},Y_n$ 的多项式环. 将 $Y_i=z_i+Y_n^{N^{n-i}}$ 代入 $f(Y_1,\dots ,Y_n)$, 可以发现 $f$ 的各个单项都会展开出一个只含 $Y_n$ 的单项, 次数非常高且互异. 于是如将 $f$ 看成关于 $Y_n$, 系数在 $k[z_1,\dots ,z_{n-1}]$ 中的多项式, 则其最高次项系数在 $k$ 中. 这样由于 $f\in I$, 就有 $y_n\in A$ 在 $k[z_1,\dots ,z_{n-1}]$ 上整; 而 $A$ 又由 $z_1,\dots ,z_{n-1}$ 的像和 $y_n$ 生成, 故 $A$ 在 $k[z_1,\dots ,z_{n-1}]$ 上有限.

现考虑复合映射 $k[Z_1,\dots ,Z_{n-1}]\to k[Y_1,\dots ,Y_n]\to A$, 其中第一个映射为 $Z_i\mapsto z_i$. 设其像为 $A^{\prime }\subseteq A$. 则由上一段所证, $A$ 在 $A^{\prime }$ 上有限. 对 $A^{\prime }$ 用归纳假设, 即得有限单射 $k[X_1,\dots ,X_d]\to A^{\prime }$. 于是 $k[X_1,\dots ,X_d]\to A$ 也是有限单射, 命题得证.

$\square$

还有个关于完备 Noether 局部环的版本.

定理 1.2. 设 $A$ 是完备 Noether 局部环. 则存在完备正则局部环 $R$ 以及有限单射 $R\to A$, 且 $R$ 可取得形如 $k[[X_1,\dots ,X_d]]$, 其中 $k$ 是域或完备离散赋值环.

2应用

3相关概念

•	Hilbert 基定理
•	Hilbert 零点定理

术语翻译

Noether 正规化 • 英文 Noether normalization • 德文 Noetherscher Normalisierung • 法文 normalisation de Noether