自然数

自然数是指 $0,1,2,3,\dots$ 这样的数. 自然数可以用于计数问题, 即用来表示有限集的大小. 自然数看似简单, 却蕴藏着十分丰富的结构, 以及若干未解难题, 是数论的主要研究对象.

所有自然数构成的集合记为 $\mathbb{N}$.

1定义

在集合论中

在以 ZFC 集合论为基础的主流数学中, 任何数学对象都是集合, 因此每个自然数也定义为一个集合. 一般采用以下方法来定义自然数.

定义 1.1 (自然数).

•	定义 $0=\varnothing$ 为空集.

•	对任意集合 $n$, 定义 $S(n)=n\cup \{n\}$.

•	定义 $\mathbb{N}$ 为满足以下条件的最小集合: ∘ $0\in \mathbb{N}$, 且对任意集合 $n\in \mathbb{N}$, 有 $S(n)\in \mathbb{N}$. 严格地说, $\mathbb{N}$ 是所有满足此条件的集合的交; 无穷公理保证了满足此条件的集合存在.

集合 $\mathbb{N}$ 的元素称为自然数.

我们采用熟知的记号, 即$$\begin{array}{rl}& 1=S(0)=\{\varnothing \},\\ & 2=S(S(0))=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\},\\ & 3=S(S(S(0)))=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\},\\ & \dots \dots ,\end{array}$$来表示自然数. 这样, 我们就有$$\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,\dots \}.$$并且, 对任意自然数 $n$, 都有$$n=\{0,1,\dots ,n-1\}.$$

注 1.2. 有的文献中使用不同的约定, 认为 $0$ 不是自然数. 我们不采用这种约定. 为了区分这两种约定, 可以说正整数 (不包括 $0$) 或非负整数 (包括 $0$).

通过公理

关于从公理出发定义的自然数, 另见 Peano 公理.

在类型论中

在简单类型论中, 自然数可以被定义为一个归纳类型, 见自然数 (类型论) 一文.

2性质

序结构

集合的属于关系定义了自然数的序结构.

命题 2.1 (全序性). 自然数 $\mathbb{N}$ 连同其上的二元关系 $\in$ 构成全序集.

命题 2.2 (离散性). 对任意自然数 $n$, 不存在自然数 $m$ 使得 $n<m<n+1$.

命题 2.3 (良序性). 自然数的非空子集均有最小元, 换言之, 自然数构成良序集.

此性质称为最小自然数原理.

半环结构

(加法、乘法的定义, 交换律、结合律等)

3相关概念

•	数学归纳法、最小自然数原理、归纳构造

术语翻译

自然数 • 英文 natural number • 德文 natürliche Zahl (f) • 法文 entier naturel (m) • 拉丁文 numerus naturalis • 古希腊文 φυσικὸς ἀριθμός • 日文 自然数 (しぜんすう) • 韩文 자연수 (自然數)