链同伦

链同伦是链复形的映射之间的等价关系, 是拓扑学中同伦概念在同调代数中的类比.

1定义

设 $\mathcal{A}$ 是加性范畴, $\mathsf{Ch}(\mathcal{A})$ 是其链复形范畴, 采用同调记号.

定义 1.1. 对链复形 $(C,{\partial }^C),(D,{\partial }^D)\in \mathsf{Ch}(\mathcal{A})$ 及链映射 $f,g:C\to D$, $\mathbf{f}$ 到 $\mathbf{g}$ 的链同伦指映射族$$H=(H_n:C_n\to D_{n+1}{)}_{n\in \mathbb{Z}},$$满足$$f+H\circ {\partial }^C+{\partial }^D\circ H=g,$$也就是对所有整数 $n$, $$f_n+H_{n-1}\circ {\partial }_n^C+{\partial }_{n+1}^D\circ H_n=g_n.$$我们用记号 $H:f\to g$ 或 $H:f\simeq g$ 表示 $H$ 是 $f$ 到 $g$ 的链同伦, 即它们满足上述等式. 称链映射 $f$ 和 $g$ 链同伦, 记作 $f\simeq g$, 指存在 $f$ 到 $g$ 的链同伦. 称 $0$ 到 $g$ 的链同伦为 $g$ 的零伦. 如这样的链同伦存在, 则称链映射 $g$ 零伦.

定义 1.2 (同伦等价). 对链复形 $C,D\in \mathsf{Ch}(\mathcal{A})$, 称链映射 $f:C\to D$ 为链同伦等价或无歧义时同伦等价, 指存在链映射 $g,h:D\to C$ 以及链同伦 $G:{\mathrm{id}}_C\simeq g\circ f$, $H:{\mathrm{id}}_D\simeq f\circ h$. 存在这样的 $f$ 时, 称 $C$ 和 $D$ 同伦等价.

注 1.3. 当然也可以用上同调记号, 这里就不再写一遍了.

2性质

本节中设 $\mathcal{A}$ 是加性范畴, $\mathsf{Ch}(\mathcal{A})$ 是其链复形范畴, $C,D\in \mathsf{Ch}(\mathcal{A})$.

命题 2.1. 设 $r\in \mathbb{N}$, $f_0,f_1,\dots ,f_r:C\to D$ 是链映射, $H_i$ 是 $f_{i-1}$ 到 $f_i$ 的链同伦, 对 $i=1,\dots ,r$. 则 $H_1+\cdots +H_r$ 是 $f_0$ 到 $f_r$ 的链同伦.

命题 2.2. 设 $f,g:C\to D$ 是链映射, $H$ 是 $f$ 到 $g$ 的链同伦. 则 $-H$ 是 $g$ 到 $f$ 的链同伦.

命题 2.3. 设 $f,g,h:C\to D$ 是链映射, $H$ 是 $f$ 到 $g$ 的链同伦. 则 $H$ 也是 $f+h$ 到 $g+h$ 的链同伦. 特别地, $f$ 到 $g$ 的链同伦就是 $g-f$ 的零伦.

命题 2.4. 设 $f,g:C\to D$ 是链映射, $H_0,H_1$ 是 $f$ 到 $g$ 的链同伦. 则 $H_1-H_0$ 是 $C[1]$ 到 $D$ 的链映射.

命题 2.5. 设 $\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴. 则链同伦的链映射在同调上给出的同态相同.

3几何直观

4推广

定义 4.1 (高阶同伦). 定义 1.1 可推广到高阶. 设 $\mathcal{A}$ 是加性范畴, $C,D\in \mathsf{Ch}(\mathcal{A})$ 是链复形. 对自然数 $d$, 归纳定义 $\mathbf{d}$ 阶链同伦如下:

•	$0$ 阶链同伦是链映射 $C\to D$.
•	设对每个自然数 $i<d$ 给定两族映射 $(F_n^i,G_n^i:C_n\to D_{n+i}{)}_{n\in \mathbb{Z}}$, 使得 $F^i,G^i$ 是 $F^{i-1}$ 到 $G^{i-1}$ 的 $i$ 阶链同伦. 则 ${\mathbf{F}}^{\mathbf{d}-1}$ 到 ${\mathbf{G}}^{\mathbf{d}-1}$ 的 $\mathbf{d}$ 阶链同伦指映射族$$H^d=(H_n^d:C_n\to D_{n+d}{)}_{n\in \mathbb{Z}},$$满足$$F^{d-1}+H^d\circ {\partial }^C+{\partial }^D\circ H^d=G^{d-1},$$此时记 $H^d:F^{d-1}\to G^{d-1}$ 或 $H^d:F^{d-1}\simeq G^{d-1}$.

注 4.2. $\mathsf{Ch}(\mathcal{A})$ 的所有高阶链同伦构成 Rezk $\Theta$-空间, 它给出的 $\infty$-范畴就是 $\mathcal{A}$ 的链复形同伦 $\infty$-范畴, 通常记作 $\mathsf{K}(\mathcal{A})$.

5相关概念

术语翻译

链同伦 • 英文 chain homotopy