箭头范畴

在范畴论中, 范畴 $\mathcal{C}$ 的箭头范畴是如下的构造的范畴 ${\mathcal{C}}^I$:

•	对象: $\mathcal{C}$ 中的 “箭头”, 即 $\mathcal{C}$ 中形如$$x\stackrel{f}{⟶}y$$的态射.

•	态射: 由 $x\stackrel{f}{⟶}y$ 到 $x^{\prime }\stackrel{f^{\prime }}{⟶}{y}^{\prime }$ 的态射是形如$$xy{x}^{\prime }{y}^{\prime }f{f}^{\prime }$$的交换图.

等价地说, 箭头范畴 ${\mathcal{C}}^I$ 也是从范畴 $I=(\bullet \to \bullet )$ 到 $\mathcal{C}$ 的函子范畴.

1定义

定义 1.1 (箭头范畴). 设 $\mathcal{C}$ 为范畴. 定义其箭头范畴为函子范畴$${\mathcal{C}}^I=\mathsf{Fun}(I,\mathcal{C}),$$其中 $I=(\bullet \to \bullet )$ 为只有两个对象、一个非恒同态射的范畴.

等价地, 箭头范畴也可以用引言中的方式定义.

定义 1.2. 设 $\mathcal{C}$ 为范畴 ${\mathcal{C}}^I$. 定义两个函子:

•	$\mathrm{dom}:{\mathcal{C}}^I\to \mathcal{C}$ 将箭头 $x\stackrel{f}{⟶}y$ 映射到 $x$.

•	$\mathrm{cod}:{\mathcal{C}}^I\to \mathcal{C}$ 将箭头 $x\stackrel{f}{⟶}y$ 映射到 $y$.

2性质

•	$\mathrm{dom}$ 是纤维范畴, 其纤维为 $\mathcal{C}$ 中的仰范畴. $\mathrm{cod}$ 是异纤维范畴, 其纤维为 $\mathcal{C}$ 中的俯范畴.

•	当 $\mathcal{C}$ 具有拉回时, $\mathrm{cod}$ 是纤维范畴. 当 $\mathcal{C}$ 具有推出时, $\mathrm{dom}$ 是异纤维范畴.

术语翻译

箭头范畴 • 英文 arrow category