Kähler 流形

Kähler 流形是具有相容的复结构、辛结构、Riemann 结构的光滑流形, 也常常被视为具有额外结构 (即 Kähler 度量) 的复流形.

Kähler 流形与代数几何关系密切, 因为任何光滑复射影簇都是 Kähler 流形. 这也提供了一大类 Kähler 流形的例子. 另一方面, Kähler 流形因具有 Hodge 理论而有良好的几何性质. 这些因素使 Kähler 流形成为几何学的重要研究对象.

研究 Kähler 流形的数学分支称为 Kähler 几何.

1定义

定义 1.1 (Kähler 流形). Kähler 流形是四元组 $(X,J,\omega ,g)$, 其中

•	$X$ 是 $2n$ 维光滑流形.
•	$J$ 是 $X$ 上的可积近复结构. 也就是说, $(X,J)$ 是复流形.
•	$\omega$ 是 $X$ 上的闭辛形式. 也就是说, $(X,\omega )$ 是辛流形. 辛形式 $\omega$ 称为 Kähler 形式.
•	$g$ 是 $X$ 上的 Riemann 度量. 也就是说, $(X,g)$ 是 Riemann 流形.

它们满足以下相容条件:

•	$g(u,v)=\omega (u,Jv)$.

在无歧义时, 也常常直接称 $X$ 为 Kähler 流形.

注 1.2 (等价定义). 上述定义常常重新叙述如下:

•	Kähler 流形是 Hermite 流形 $(X,h)$, 其中 $X$ 是复流形, $h$ 是 Hermite 度量, 称为 Kähler 度量, 使得辛形式$$\omega =-\mathrm{Im}h$$是闭形式, 即满足 $d\omega =0$. 此时, 相应的 Riemann 度量由 $g=\mathrm{Re}h$ 给出.

因此, Kähler 流形可以看成是带有度量的复流形, 也就是 Riemann 流形的复流形版本. 这里的额外条件 $d\omega =0$ 可以赋予 Kähler 流形 Hodge 理论, 从而得出丰富的几何信息.

2例子

(…)

3性质

(…)

术语翻译

Kähler 流形 • 英文 Kähler manifold • 德文 Kähler-Mannigfaltigkeit (f) • 法文 variété kählérienne (f)