几何学

几何学是数学分支之一, 是对各种形状及其性质的研究.

几何学最古老的分支是 Euclid 几何, 它研究平面、立体乃至高维空间中的图形及其位置关系. 在现代数学中, 狭义的几何学是指对流形的研究, 也即微分几何. 流形是平面、球面、圆环面等形状的推广, 而微分几何利用微积分、线性代数的工具来研究这些形状. 另一方面, 广义的几何学则包括对某些抽象形状的研究. 例如, 拓扑学研究一类称为拓扑空间的抽象形状, 而代数几何则研究代数簇、概形等抽象的形状.

1历史

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2分支

经典的几何

以下是经典的几何概念, 它们都在埃朗根纲领的框架之中, 研究比较 “整齐” 的空间中被对称性保持的性质:

•	Euclid 几何, 研究 Euclid 空间中的图形及其位置关系. ∘ 平面几何、立体几何, 分别是采用 “综合” 或 “公理化” , 或者说纯几何的手段研究 $2$ 维、$3$ 维 Euclid 空间中的几何. ∘ 坐标几何, 在坐标系中研究 Euclid 几何.
•	非 Euclid 几何, 研究常曲率空间中的图形及其位置关系. ∘ 球面几何, 研究球面上的几何. ∘ 双曲几何, 研究双曲空间上的几何.
•	射影几何、仿射几何, 分别研究射影空间、仿射空间上图形的性质, 这些性质分别被射影变换、仿射变换 (即该空间的自同构) 保持不变.

现代的几何

以下是现代的几何概念, 它把研究的对象转向了一般的空间, 而经典的几何则是它们的特例:

•	微分几何, 研究流形. ∘ Riemann 几何, 研究 Riemann 流形, 也就是具有距离、大小概念的流形. ∘ 复几何, 研究复流形. ∘ 辛几何, 研究辛流形. ∘ Kähler 几何, 研究 Kähler 流形. ∘ 超几何, 研究超流形.
•	代数几何, 研究代数簇、概形, 可以大致说是多项式的零点集. ∘ 算术几何, 使用代数几何研究数论. ∘ 双有理几何, 试图分类代数簇的双有理等价类. ∘ 导出代数几何, 使用同伦代数研究代数几何.
•	非交换几何, 研究非交换代数在代数–几何对偶下相应的几何.

3相关概念

•	拓扑学
•	代数学
•	代数–几何对偶

术语翻译

几何学 • 英文 geometry • 德文 Geometrie (f) • 法文 géométrie (f) • 拉丁文 geometria (f) • 古希腊文 γεωμετρία (f)