Mazur 挠定理

Mazur 挠定理是算术几何中的定理, 它刻画了有理数域上椭圆曲线的挠群表现. 总的来说, 该挠群总是有限循环群或者两个有限循环群的乘积, 且其群阶数具有一致上界. 这一结果在一般的数域以及 Abel 簇上具有推广.

1陈述

定理 1.1. 设 $E(\mathbb{Q})$ 是有理数上的椭圆曲线, 则 $E$ 上的 $\mathbb{Q}$-点构成的群的挠子群 $T=E(\mathbb{Q}{)}_{\mathrm{tors}}$ 必同构下列 $15$ 个群之一:

1.	循环群 $C_n$, 其中 $1\le n\le 10$.
2.	循环群 $C_{12}$.
3.	循环群乘积 $C_{2n}\times C_2$ 其中 $1\le n\le 4$.

其中每种情况都被无穷多不同构的 $E$ 实现.

根据 Mordell–Weil 定理, 群 $E(\mathbb{Q})$ 总是有限生成的 Abel 群, 根据主理想整环上有限生成模的结构定理, 这样的群一定是一个有限挠群和一个自由群的乘积 $T\times {\mathbb{Z}}^{\mathrm{rank}(E(\mathbb{Q}))}$. 更具体地, 可以证明此时挠部分 $T$ 总是两个循环群 (可以平凡) 的乘积.

在 1906 到 1911 年, Beppo Levi 写了一系列文章研究 $T$ 的阶并总结出: 对于上述这些群, 每种都被无穷多的 $E$ 实现. 早在 1908 年, Levi 就已猜测上述关于 $T$ 的分类是完整的. 之后 Trygve Nagell 和 Élisabeth Lutz 二人分别在 1935 年和 1937 年独立发现了研究椭圆曲线挠群的重要工具 Nagell–Lutz 定理, 用该工具可以具体地计算挠群. 再后来, 直到 1976 年, Barry Mazur 才最终证明了这个猜测.

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(补充关于模曲线的事实)

2推广

一个自然的推广是将域 $\mathbb{Q}$ 换成更大的数域. Kenku, Kamienny 和 Momose 用一系列论文指出了下面的结果.

定理 2.1. 设 $E(K)$ 是二次数域 $K$ 上的椭圆曲线, 则挠子群 $T=E(K{)}_{\mathrm{tors}}$ 必同构下列 $26$ 个群之一:

1.	循环群 $C_n$, 其中 $1\le n\le 16$.
2.	循环群 $C_{18}$.
3.	循环群乘积 $C_{2n}\times C_2$ 其中 $1\le n\le 6$.
4.	循环群乘积 $C_{3n}\times C_3$ 其中 $1\le n\le 2$.
5.	循环群乘积 $C_4\times C_4$.

其中每种情况都被无穷多不同构的 $E$ 实现.

Loïc Merel 则给出了如下一般数域上的结果.

定理 2.2. 设 $E(K)$ 是数域 $K$ 上的椭圆曲线, 则挠子群 $T=E(K{)}_{\mathrm{tors}}$ 的阶数具有一个只与 $d=[K:\mathbb{Q}]$ 有关的界 $B(d)$. 特别地, 如果 $P\in T$ 是一个素数 $p$ 阶的挠点, 则 $p\le d^{3d^2}$.

注 2.3. 对于该数域上的定理, 后来 Pierre Parent 给出了一个有效的界, 对于 $p^n$ 阶的挠点, 关于其阶数我们有$$p^n\le B(d,p)=\{\begin{array}{ll}129(3^d-1)(3d{)}^6,& p=2,\\ 65(5^d-1)(2d{)}^6,& p=3,\\ 65(3^d-1)(2d{)}^6,& p>3.\end{array}$$为方便记一个统一的上界 $B_{\max }(d)=129(5^d-1)(3d{)}^6$, 结合 $T\cong C_{n_1}\times C_{n_2}$, 则我们可以取 $B(d)=(B_{\max }(d{)}^{B_{\max }(d)}{)}^2$.

注 2.4. 另外, 对于给定的一般域扩张次数 $d=[K:\mathbb{Q}]$, 并非每个可能的挠群都会被无穷多不同构的 $E$ 实现, 特别地, 例如对于 $[K:\mathbb{Q}]=3$, $C_{21}\cong C_3\times C_7$ 就只会唯一的 $E(K{)}_{\mathrm{tors}}$ 取到, 此时 $K=\mathbb{Q}({\zeta }_9{)}^{+}$, 其他三次数域的可能挠群仍会被取到无穷多次.

给定一般的 $d$, 甚至对于素数阶挠点的可能的阶, 也并不总会被无穷多个 $E$ 实现.

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(补充关于 Abel 簇和数域上的其他有关版本)

3应用

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术语翻译

Mazur 挠定理 • 英文 Mazur’s torsion theorem