普通上同调

拓扑空间的普通上同调是一种上同调理论, 也就是描述其性质的一系列 Abel 群, 是普通同调所对应的上同调理论. 给定拓扑空间 $X$ 和交换环 $A$, 有以 $A$ 为系数的普通上同调群$$H^n(X;A),$$其中 $n=0,1,2,\dots$, 它们是 $A$-模. 不仅如此, $H^{\bullet }(X;A)$ 自身还是一个环, 称为上同调环, 其乘法由杯积给出.

大致来说, $H^n(X;A)$ 作为 $A$-模的秩描述了空间 $X$ 中 “$n$ 维洞” 的个数. 当 $n=0$ 时, $H^0(X;A)$ 的秩等于 $X$ 的道路连通分支数.

普通上同调可以通过不同的方法来计算. 奇异上同调可以计算任何空间的普通上同调; 单纯上同调、胞腔上同调可以计算性质较好的空间的普通上同调.

普通上同调是一种广义上同调理论, 由 Eilenberg–Mac Lane 谱 $HA$ 表出.

1定义

我们采用较为抽象的方式来定义普通上同调. 若读者觉得缺乏直观, 可阅读奇异上同调、单纯上同调、胞腔上同调的定义, 它们计算出的上同调与普通上同调是相同的.

定义 1.1 (普通上同调). 设 $A$ 是 Abel 群. 则以 $A$ 为系数的普通上同调是由 Eilenberg–Mac Lane 谱 $HA$ 所表出的广义上同调理论.

具体而言, 对拓扑空间 $X$ 及自然数 $n$, 定义 $X$ 的第 $n$ 阶普通上同调为$$H^n(X;A)=[X,K(A,n)],$$其中 $K(A,n)$ 为 Eilenberg–Mac Lane 空间, 右边的 $[-,-]$ 表示连续映射的同伦类的集合.

术语翻译

普通上同调 • 英文 ordinary cohomology