Banach–Alaoglu 定理

Banach–Alaoglu 定理是泛函分析中的重要定理, 说的是 Banach 空间对偶空间的闭单位球在弱 * 拓扑下紧.

1陈述与证明

定理 1.1. 设赋范域 $\mathbb{k}$ 的闭单位球 $\{a\in \mathbb{k}:|a|\le 1\}$ 为紧集, 如 $\mathbb{k}=\mathbb{R},\mathbb{C}$. 设 $X$ 为 $\mathbb{k}$ 上 Banach 空间, $X^{\ast }$ 为其对偶空间, 带算子范数. 则 $X^{\ast }$ 的闭单位球$$B^{\ast }=\{f\in X^{\ast }:\Vert f\Vert \le 1\}$$在弱 * 拓扑下紧.

证明. 依定义, 弱 * 拓扑是 $X^{\ast }$ 作为积空间 ${\mathbb{k}}^X$ 的子集继承的子空间拓扑. 注意 $B^{\ast }\subset X^{\ast }\subset {\mathbb{k}}^X$ 实际上是更小的积空间$$\prod _{x\in X}\{a\in \mathbb{k}:|a|\le \Vert x\Vert \}$$的闭子集, 而由条件, 每一个乘积分量都紧, 故由 Tikhonov 定理即得欲证.

$\square$

2推广

术语翻译

Banach–Alaoglu 定理 • 英文 Banach–Alaoglu theorem