刚性上同调

刚性上同调是由 P. Berthelot 引入的一种 $p$ 进上同调. 它对某个固定的正特征 $p$ 的域 $k$ 上的代数簇 $X$ 赋予有限维分次 $K$-向量空间 $H_{\mathrm{rig}}^{\bullet }(X/K)$, 其中 $K$ 是某个具有特征 0 的完备非 Archimedes 域, 以 $k$ 为剩余域.

若 $X$ 完备且光滑, $W$ 是 $k$ 的一个 Cohen 环 (当 $k$ 为完美域时, $W$ 为 $k$ 的 Witt 向量环), $K=W[1/p]$ 为 $W$ 的分式域, 则 $H_{\mathrm{rig}}^{\bullet }(X/K)$ 同构于有理晶体上同调 $H_{\mathrm{crys}}^{\bullet }(X/W)[1/p]$. 对非完备的代数簇, 有理晶体上同调一般并非有限维; 但刚性上同调总是有限维的.

光滑仿射代数簇的刚性上同调同构于 Monsky–Washnitzer 上同调.

除了上述 “绝对” 版本外, 也可定义具有固定支集的刚性上同调, 具有紧支集的刚性上同调. 更一般地, 这些刚性上同调空间还可以以任何过收敛有理晶体为局部系数.

1定义

常系数

先设定一些记号.

•	令 $k$ 为具有特征 $p>0$ 的域. 令 ${\mathcal{O}}_K$ 为以 $k$ 为剩余域的特征为 $0$ 的完备离散赋值环. 令 $K$ 为 ${\mathcal{O}}_K$ 的分式域, 并以 $|\cdot |$ 来表记其绝对值.
•	令 $S=\mathrm{Spf}{\mathcal{O}}_K$. 对 $S$ 上的形式概形 $\mathcal{P}$, 我们用记号 ${\mathcal{P}}_k$ 来代表概形 $\mathcal{P}{\times }_S\mathrm{Spec}k$, ${\mathcal{P}}_K$ 来代表 $\mathcal{P}$ 的 Raynaud 一般纤维 (它是 $K$ 上的刚性解析簇).
•	令 $X$ 为 $k$ 上的代数簇.

与晶体上同调理论不同, 此处不需假设 $S$ 具有 除幂结构, 因此它可以非常分歧.

定义 1.1 (标架). 包含了代数簇 $X$ 的标架为一系列态射 $X\hookrightarrow Y\hookrightarrow \mathcal{P}$, 其中 $Y$ 是 $k$ 上代数簇, $X\hookrightarrow Y$ 为开嵌入, $\mathcal{P}$ 为 $S$ 上的形式概形, $Y\hookrightarrow {\mathcal{P}}_k\to \mathcal{P}$ 为闭嵌入.

定义 1.2 (光滑标架). 称标架 $(X\subset Y\subset \mathcal{P})$ 为光滑标架, 如果 $\mathcal{P}$ 为 $S$ 上形式光滑, 且具有有限拓扑型的形式概形.

定义 1.3 (紧合标架). 称标架 $(X\subset Y\subset \mathcal{P})$ 为紧合标架, 如果 $Y/k$ 紧合.

定义 1.4 (管状邻域). 设 $\mathcal{P}=\mathrm{Spf}A$ 为 $S$ 上具有有限拓扑型的仿射形式概形. 设 $f_1,\dots ,f_r,g_1,\dots ,g_2\in A$, $Y=\mathrm{Spec}A/I\cap D(g_1,\dots ,g_s)\cap {\mathcal{P}}_k$. 对 $\eta >0$, 定义$$\begin{array}{rl}[Y{]}_{\mathcal{P}\eta }& =\{x\in {\mathcal{P}}_K:\forall 1\le i\le r,|f_i(x)|\le \eta ,且\exists 1\le j\le s,|g_j(x)|=1\}.\\ ]Y{[}_{P\eta }& =\{x\in P_K:\forall 1\le i\le r,|f_i(x)|<\eta ,且\exists 1\le j\le s,|g_j(x)|=1\}.\end{array}$$可以证明, 存在常数 ${\eta }_0$, 若 ${\eta }_0<\eta <1$, 则上述定义只依赖于概形 $Y$, 形式概形 $\mathrm{Spf}A$, 以及数字 $\eta$, 而与 $f_i,g_j$ 选择无关. 因此, 对任何形式概形 $\mathcal{P}$, 任何 ${\mathcal{P}}_k$ 的局部闭子概形 $Y$, 上述局部表达可以整体化而给出 $[Y{]}_{\mathcal{P}\eta }$, $]Y{[}_{\mathcal{P}\eta }$. 它们分别称作 $Y$ 在 $\mathcal{P}$ 中的半径为 $\eta$ 的闭 (开) 管状邻域. $]Y{[}_{\mathcal{P}}={\bigcup }_{{\eta }_0<\eta <1}[Y{]}_{\mathcal{P}\eta }$ 则被简单地称作 $Y$ 的管状邻域.

定义 1.5 (严格邻域). 设 $\mathcal{V}$ 是 $K$ 上的刚性解析空间, $\mathcal{T}$ 是 $\mathcal{V}$ 之可容许开集. 则 $\mathcal{V}\setminus \mathcal{T}$ 的一个严格邻域是指 $\mathcal{V}$ 的可容许开集 $\mathcal{W}$, 满足 $\mathcal{W}\cup \mathcal{T}$ 是 $\mathcal{V}$ 的可容许覆盖.

定义 1.6 (过收敛拉回). 设 $(X\subset Y\subset \mathcal{P})$ 为包含 $X$ 的标架. 令 $j_X:]X{[}_{\mathcal{P}}\to ]Y{[}_{\mathcal{P}}$ 为包含态射. 对 $]Y{[}_{\mathcal{P}}$ 上的层 $\mathcal{E}$, 定义其过收敛拉回为$$j_X^{†}\mathcal{E}=\underset{\mathcal{V}}{\mathrm{colim}}{j}_{\mathcal{V}\ast }{j}_{\mathcal{V}}^{-1}\mathcal{E}$$其中 $\mathcal{V}$ 跑遍 $]X{[}_{\mathcal{P}}$ 在 $]Y{[}_{\mathcal{P}}$ 中的严格邻域.

定义 1.7 (刚性上同调). 设 $(X\subset Y\subset \mathcal{P})$ 为光滑紧合标架. 则 $]Y{[}_P$ 的 de Rham 复形的过收敛拉回 $j_X^{†}{\Omega }_{]Y{[}_{\mathcal{P}}/K}^{\bullet }$ 的超上同调与光滑紧合标架的选择无关. 它的上同调定义为 $X$ 的 (关于结构系数的) 刚性上同调: $$H_{\mathrm{rig}}^{\bullet }(X/K)=H_{\mathrm{rig}}^{\bullet }(X/K,{\mathcal{O}}_{X/K})=R^{\bullet }\Gamma (]Y{[}_{\mathcal{P}},j_X^{†}{\Omega }_{]Y{[}_{\mathcal{P}}/K}^{\bullet })$$

一般系数

还能定义以过收敛晶体为系数的刚性上同调. (...)

2例子

例 2.1. 令 $X={\mathbb{A}}_k^1$, $Y={\mathbb{P}}_k^1$, $\mathcal{P}={\hat{\mathbb{P}}}_S^1$. 这里 ${\hat{\mathbb{P}}}_S^1$ 是 ${\mathbb{P}}_S^1$ 沿着 ${\mathbb{P}}_k^1$ 的完备化. 则 $(X\subset Y\subset P)$ 为光滑紧合标架. 此时, $]Y{[}_{\mathcal{P}}={\mathcal{P}}_K={\mathbb{P}}_K^{1,\mathrm{an}}$, $]X{[}_{\mathcal{P}}$ 是单位闭圆盘$$D^{+}(0;1)=\mathrm{Spm}K⟨t⟩,$$其中 $K⟨t⟩$ 是 Tate 代数$$\begin{array}{rl}K⟨t⟩& =\left(\underset{n}{\lim }{\mathcal{O}}_K[t]/{\varpi }^n{\mathcal{O}}_K[t]\right)\left[\frac{1}{\varpi }\right]\\ & =\left\{\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{t}^n\in K[[t]]:|a_n|\to 0\right\}\end{array}$$这里, $\varpi$ 是 ${\mathcal{O}}_K$ 的极大理想的一个生成元. 留给读者验证, 代数 $K⟨t⟩$ 的 de Rham 复形具有无限维的 $H^1$. 实际上, 它等于 ${\mathbb{A}}_k^1$ 的第一个有理晶体上同调, 或者 Ogus 所定义的收敛上同调.

而 $]X{[}_{\mathcal{P}}$ 在 $]Y{[}_{\mathcal{P}}={\mathcal{P}}_K$ 中的任何严格邻域都包含于某个形如$${\mathbb{P}}_K^{1,\mathrm{an}}\setminus ]{\infty }_k{[}_{{\hat{\mathbb{P}}}_S^1,\eta }$$的严格邻域中. 上述严格邻域为半径为 $\rho ={\eta }^{-1}$ 的闭圆盘: $${\mathbb{D}}^{+}(0;\rho )=\mathrm{Spm}K⟨\frac{t}{\rho }⟩,$$这里, 对实数 $\rho >0$ $$K⟨\frac{t}{\rho }⟩=\left\{\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{t}^n\in K[[t]]:|a_n|{\rho }^n\to 0\right\}.$$而这些严格邻域的结构层的过收敛拉回的截面恰为 Monsky–Washnitzer 代数$$K⟨t{⟩}^{†}=\left\{\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{t}^n\in K⟨t⟩:\exists \rho >1,|a_n|{\rho }^n\to 0\right\}.$$(利用 ${\mathbb{D}}^{+}(0;1)$ 为拟 Stein 域) 这个代数的 de Rham 复形即计算了刚性上同调: $$R{\Gamma }_{\mathrm{rig}}({\mathbb{A}}_k^1/K)=\left[K⟨t{⟩}^{†}\stackrel{\frac{\partial }{\partial t}}{\to }K⟨t{⟩}^{†}\right].$$直接计算可知, 这个复形的第零个上同调同构于 $K$, 第一个上同调是平凡的.

术语翻译

刚性上同调 • 英文 rigid cohomology • 法文 cohomologie rigide

过收敛 (形容词) • 英文 overconvergent • 法文 surconvergent

有理晶体 • 英文 isocrystal • 法文 isocristal (m)